teorias

7. TEOREMAS PARA EL CALCULO DE LÍMITE DE UNA FUNCION

Teorema:
Límite de la suma
El límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término, siempre que estos límites sean finitos.

H) limx->af(x)=b, limx->ag(x)=c
T) limx->af(x) + g(x) = b + c

Demostración:
Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo x perteneciente al E*a,δ |(f(x) + g(x)) - (b+c)| <ε.
Sea ε' = ε/2
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 |f(x) - b| < ε'.
limx->ag(x)=c => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 |g(x) - c| < ε'.
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple:
|f(x) - b| < ε'
|g(x) - c| < ε'

≥ |f(x) - b| + |g(x) - c| <2ε' = ε
|(f(x) + g(x)) - (b+c)| = |(f(x) - b) + (g(x) - c)| ≤ (*)
|f(x) - b| + |g(x) - c| < ε
(*) Desigualdad triangular: |a + b| af(x) + g(x) = b + c
Ejemplo:
limx->2 x2 = 4
limx->2 x = 2
limx->2 x2 + x = 6

Teorema:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x) + g(x) = +inf

Demostración:
limx->af(x)=b ≥ (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo xperteneciente al E*a,δ1 b - ε < f(x) < b + ε.
limx->ag(x)= +inf ≥ (por def. de límite infinito) para todo A > 0 existe un E*a,δ2/ para todo x perteneciente al E*a,δ2 g(x) > A.
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple:
f(x) > b - ε
g(x) > A
≥ f(x) + g(x) > A + b - ε = K
≥ (por def. de límite infinito) limx->a f(x) + g(x) = +inf.







Teorema:
H) limx->af(x) =b, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x) + g(x) = -inf

Demostración:
Análoga a la anterior.

Teorema:
H) limx->af(x) = +inf, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x) + g(x) = +inf

Demostración:
Sea A > 0.
Consideremos A/2.
Por def. de límite infinito, existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1f(x) > A/2
Por def. de límite infinito, existe δ2 > 0 / para todo x pertenecientealE*a,δ2 g(x) > A/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) + g(x) > A
≥ (por def. de límite infinito) limx->af(x) + g(x) = +inf.

Teorema:
H) limx->af(x) = -inf, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x) + g(x) = -inf

Demostración:
Análoga a la anterior.
Cuando limx->af(x) = -inf y limx->ag(x) = +inf, el limx->af(x) + g(x) no puede determinarse, se dice que es INDETERMINADO de laforma inf - inf.

Teorema:
Límite del producto
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c
T) limx->af(x).g(x) = b.c

Demostración:
Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ |f(x).g(x) - b.c| < ε.
limx->af(x) = b ≥ (por def. de límite) para todo Eb,ε1 existe E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε1.
limx->ag(x) = c ≥ (por def. delímite) para todo Ec,ε2 existe E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε2.
limx->af(x) = b ≥ (por teo. de la acotación) existe δ3 > 0 y k > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ3 |f(x)| < k.
ε ε
Sea ε1 = ____ , ε2 = ____
2|c| 2k

ε ε
|f(x) - b|< ____ ≥ |c||f(x) - b| < ___ (1)
2|c| 2



ε ε
|g(x) - c| < ___ ≥ k|g(x) - c| < ___ (2)
2k 2

ε
|f(x)| < k ≥(de 2) |f(x)||g(x) - c| < ___ (3)
2

Sea δ = min {δ1,δ2}
De 1) y 3): para todo x perteneciente al E*a,δ
|c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < ε
|f(x)g(x) - bc| = |f(x)g(x) - bc + f(x)c - f(x)c| = |c(f(x) - b) + f(x)(g(x) - c)| ≤ (*) |c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < ε
(*) Desigualdad triangular: |a + b| (por def....