Teroria de conjuntos

UNIDAD 3.-TEORIAS DE CONJUNTOS

TEORIAS DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar deun conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está biendefinido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicóCantor
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente
Notación
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno deellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
De esta manera, si [pic]es un conjunto, y [pic]todos sus elementos, es común escribir:
[pic]
para definir a tal conjunto [pic]. Esta notación empleada para definir al conjunto [pic]se llama notación por extensión
Para representar que un elemento [pic]pertenece a unconjunto A, escribimos [pic](léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de [pic]se escribe [pic](léase [pic]no pertenece a [pic]).
DIAGRAMA DE VENN.
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la matemática conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes gruposde cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.
[pic][pic]

ALGUNOS TIPOS DE CONJUNTOS SON:
CONJUNTOUNIVERSAL
El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da porsupuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.
[pic]
CONJUNTO VACIO
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por [pic]. Es decir
[pic]
La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles no estáncontenidos en él, es decir
[pic].

Es un subconjunto de cualquier conjunto. Además el conjunto vacío es siempre un subconjunto propio, excepto de sí mismo.
CONJUNTO DISJUNTOS
Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común

Ejemplo 1 : El conjunto de alumnos aprobados en Algebra es un conjunto disjunto con el de los alumnos reprobados.

Ejemplo 2 : Sea A [1,2,3] y B...