terperatura

An´lisis Num´rico: M´todos de Taylor
a
e
e
Computaci´n / Matem´ticas
o
a

MA2008

Computaci´n / Matem´ticas
o
a

An´lisis Num´rico: M´todos de Taylor
a
e
e

Problema a resolver

El objetivo es construir una familia de m´todos a un problema bien
e
planteado con condiciones iniciales:
y (t) = f (t, y ), a ≤ t ≤ b, y (t = a) = α
de manera que podamos construir una soluci´nsuficientemente
o
aproximada con un m´
ınimo esfuerzo: ¿el costo? calcular las
derivadas simb´licas de la funci´n f (t, y ).
o
o

Computaci´n / Matem´ticas
o
a

An´lisis Num´rico: M´todos de Taylor
a
e
e

El error de truncamiento local
Definici´n
o
Para un cierto m´todo de soluci´n a un problema con
e
o
condiciones iniciales que tiene como f´rmulas de
o
recurrencia:
yo = αyi+1 = yi + h φ(ti , yi ) para i = 0, 1, . . . , N − 1
se dice que tiene un error local de truncamiento dado
por
τi+1 (h) =
=

y (ti+1 )−yi+1
h

=

y (ti+1 )−y (ti )
h

− φ(ti , y (ti ))

Computaci´n / Matem´ticas
o
a

y (ti+1 )−(y (ti )+h φ(ti ,y (ti )))
h

An´lisis Num´rico: M´todos de Taylor
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El error local de truncamiento local: Euler

En el caso delm´todo de Euler el error local de truncamiento
e
queda:
h
τi+1 (h) = y (ξi ), para ξi ∈ (ti , ti+1 )
2
Si y (t) est´ acotado por una constante M para t en [a, b]
a
entonces
h
|τi+1 (h)| ≤ M
2
se dice que el error local de truncamiento en el m´todo de Euler es
e
O(h).

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´
Metodos de Taylor: Base
Si eldesarrollo de Taylor para y (ti+1 ) en ti lo expandimos
considerando hasta t´rminos de grado n:
e
y (ti+1 ) = y (ti )+h y (ti )+

hn
hn+1
h2
y (ti )+· · ·+ y (n) (ti )+
y (n+1) (ξi )
2
n!
(n + 1)!

o
´
y (ti+1 ) = y (ti )+h y (ti ) +

h
hn−1 (n)
hn
y (ti ) + · · · +
y (ti ) +
y (n+1) (ξi )
2
n!
(n + 1)!

para alguna ξi en (ti , ti+1 ). Si ahora utilizamos que
y (t) = f(t, y ) lo anterior nos queda:
y (ti+1 ) = y (ti ) + h f (ti , y (ti )) +
n−1

h
2

+ h n! f (n−1) (ti , y (ti )) +
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a

f (ti , y (ti )) + · · ·
hn
(n+1)!

f (n) (ξi , y (ξi ))

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e
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´
Metodos de Taylor: T (n) (t, y )
Si definimos
T (n) (ti , yi ) = f (ti , yi ) +

h
hn−1 (n−1)
f (ti , yi ) + · · · +
f(ti , yi )
2
n!

as´ por ejemplo:
ı
T (1) (ti , yi ) = f (ti , yi )
T (2) (ti , yi ) = f (ti , yi ) +

h
2

f (ti , yi )

T (3) (ti , yi ) = f (ti , yi ) +

h
2

f (ti , yi ) +

h2
3!

f (ti , yi )

T (4) (ti , yi ) = f (ti , yi ) +

h
2

f (ti , yi ) +

h2
3!

f (ti , yi ) +

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a

h3
4!

An´lisis Num´rico: M´todos de Taylora
e
e

f (ti , yi )

´
Metodos de Taylor: Recurrencia

As´ las f´rmulas de recurrencia:
ı
o
to
yo

= a
= α

y para i = 0, 1, . . . , N − 1:
ti+1 = ti + h
yi+1 = yi + h · T (n) (ti , yi )
definen el m´todo de Taylor de orden n. Note que de acuerdo a la
e
definici´n: el error local de truncamiento del m´todo de Taylor de
o
e
orden n es n.

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e

´
Metodos de Taylor: Ejemplo

Para el siguiente problema con condiciones iniciales:
y (t) =

y
y
−
t
t

2

, 1 ≤ t ≤ 3, y (1) = 1, h = 0.2

argumente que el problema es un problema bien planteado y
aplique los m´todos de Taylor de orden dos, tres y cuatro para
e
obtener aproximaciones a su soluci´n.
o

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a
e
e

Para obtener las expresiones de T (2) , T (3) y T (4) requerimos
calcular las derivadas de f (t, y ) = y /t − (y /t)2 :
f (t, y ) =
=
=
=
f (t, y ) =
f (t, y ) =
=
=
=
f (t, y ) =

y
y 2
d
dt t − t
(t−2 y )(t y −y )
t3
(t−2 y )(t·f (t,y )−y )
t3
(t−2 y )(t·(y /t−(y /t)2 )−y )
t3
(2 y −t) y 2
t4
d
dt f (t,...