Test De Algebra Lineal II Series De Fuerier

TRABAJO DE ALGEBRA









ANDRES SALGADO










UIS
BARBOSA
2013
TEST 01

A-) Deduzca la fórmula de las series de Fourier en variable real a partir de su definición.

SERIE DE FOURIER EN VARIABLE REAL
La teoría de Fourier propone que toda función periódica, se puede expresar como la suma de muchas funciones senoidales o cosenoidales. La teoría de Fourier se puede expresar como la sumainfinita de señales armónicas con periodo T en un intervalo de t siendo : así:
=(a0+a1+a2+a3+…+b1+b2+b3+…)
En una forma mas compacta obtenemos:

Basándonos en la base generadora:
A=
Encontraremos el valor de los coeficientes de la serie de Fourier. Para encontrar dichos coeficientes, utilizaremos el método de aproximación de Gram-Schmidt;
Tomando como producto interior:
Desarrollando decimos que:Teniendo en cuenta que:







Obtenemos como resultado:





Reemplazando:





Sustituyendo:

Obtenemos:

Simplificando:

El resultado obtenido lo empleamos para generar la serie de Fourier de orden (n) al concluirse finalmente que:



Dónde:
, ,
B-) Encuentre la serie de Fourier de la siguiente función periódica de periodo T=4.

Tomando la función :



Decimos que:Hallamos los coeficientes que están dados por.
, ,
Hasta orden 4:









Desarrollando en MATLAB tebemos los siguientes comandos:







Onteniendo como resultado para cada coeficiente.


Reemmplazando en la serie tenemos.

Ya como resultado final se obtniene:


Si realizamos una paroximacion de orden 40 obtenemos

Cada vez que incrementamos la cantidad de términos a la serie de Fourier estase asemeja mas a la función original.
TEST 02

A-) Deduzca las series de Fourier en variable compleja.

SERIE DE FOURIER EN VARIABLE COMPLEJA
El empleo de la variable compleja para la representación de las series de Fourier conduce a resultados más sencillos que las desarrollados en variable real.

Ayudándonos de una base de expresiones complejas asi:



Y decimos que es una aproximación a encon

Ahora proponemos un polinomio de la Forma:


Escrito en una formo mas compacta obtenemos:

Encontraremos el valor de los coeficientes (cn) de la serie de Fourier. Para hallar dichos coeficientes, uzaremos el método de aproximación de minimos cuadrados:


Desarrollando las integrales deducimos que:



Obtenemos como resultado:



Efectuamos eliminación gaussiana

Asi obtenemos:El resultado obtenido lo empleamos para generar la serie de Fourier de orden (n) al concluirse finalmente que:

Donde:


B-) Encuentre la relación entre las series de Fourier en variable real y compleja.
La relación esta dada entre las amplitudes de la variable real y la variable compleja
Como sabemos la serie de Fourier en variable real esta definida de la siguiente manera
Ecuación de variablereal copiar

Los componentes de la serie en variable real los consideramos como vectores rotantes los cuales giran en un sentido anti horario formando bn con el eje Y un angulo nwt y de igual manera an con el eje X, de tal forma que estos dos vectores siempre van a estar girando a la misma frecuencia formando entre ellos un angulo de 90 grados. Partiendo de esto podemos concluir que los dosvectores se pueden sumar generando así una amplitud cn la que va estar rotando a igual medida que sus componentes, cumpliendo que:

Concluimos que:

tal que
, ,
, , n=1,2,3,…
Por tanto el espectro de Fourier estará compuesto por una serie discreta de ordenadas de
Amplitud con una sucesión de abscisas de frecuencias

Series de Fourier en VariableCompleja.
La serie de Fourier en variable compleja es la suma de pares conjugados por lo tanto al ser sumados se anulan sus componentes imaginarias.

Podemos observar que:


Por consiguiente llegamos a la misma conclusión que llegamos con la Variable Compleja que el espectro de Fourier estará compuesto por una serie discreta de ordenadas de Amplitud con una sucesión de abscisas de frecuencias nω....