Tipos De Soluciones, Optima, Factible, Acotada, Degenerada

Solución factible
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima
El conjunto de los vértices del recinto (formados por las restricciones) se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la soluciónóptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).

Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser:
Factibles | Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. A su vez, pueden ser: |
  |   |   |
  | Con solución única |   |
  | En una urbanización se van a construircasas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello de un máximo de 1800 millones de pesetas, siendo el coste de cada tipo de casa de 30 y 20 millones, respectivamente. El Ayuntamiento exige que el número total de casas no sea superior a 80.
Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es 4 millones y de 3 millones por una de tipo B, ¿cuántas casas debenconstruirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio? * Variables: x = nº de casas tipo A ; y = nº de casas tipo B * Función objetivo: Maximizar Z = f(x,y) = 4x + 3y * Conjunto de restricciones: El coste total 30x + 20y  1800 . El Ayuntamiento impone x + y 80 . De no negatividad: x  0 , y  0.Tiene por región factible la región coloreada.
Si hallamos los valores de la función objetivo encada uno de los vértices :
f(O) = f(0,0) = 0 ; f(C)=f(60,0) = 240 ;f(D) = f(20,60) = 260 ; f(E) = f(0,80) = 240
La solución es única, y corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor máximo. En este caso es el vértice D(20,60). Por tanto se deben construir 20 casas de tipo A y 60 de tipo B con un coste de 260 millones de pesetas.  |
  | Con solución múltiple | Si existe másde una solución....................................................................................... |
  | Maximizar la función Z = f(x,y) = 4x + 2y sujeta a las restricciones 2x + y  4 , x - y  1 , x  0 , y  0.Los valores de la fucnión objetivo en cada uno de los vértices son:
f(O)=f(0,0) = 0 , f(A) = f(1,0) = 4 ; f(B)=f(5/3,2/3) = 8 , f(C) = f(0,4) = 8
La función objetivo alcanza el valormáximo en los vértices B y C, por tanto, en todos los puntos del segmento BC.
Hay infinitas soluciones, solución múltiple, que corresponden a los puntos del segmento situado entre dos vértices de la región factible.
En estos casos, como ya vimos en el capítulo anterior, la función objetivo es paralela a una de las restricciones.  |
  | Con solución no acotada | Cuando no existe límite para lafunción objetivo |
  | Maximizar la función Z = f(x,y) = x + y sujeta a las restricciones y  2x , y  x/2 .Tiene por región factible la zona coloreada que aparece en la figura, que es una región no acotada.
La función crece indefinidamente para valores crecientes de x e y.
En este caso no existe un valor extremo para la función objetivo, por lo que puede decirse que el problema carece desolución.
Para que suceda esta situación la región factible debe estar no acotada.  |
No factibles | Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes. |
  | Maximizar la función Z = f(x,y) = 3x + 8y sujeta a las restricciones x + y  6 , x + y  2 , x  0 , y  0.No existe la región factible, ya que las zonas coloreadas queaparecen en la figura son únicamente soluciones de alguna de las inecuaciones .
Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema de desigualdades no determina ninguna región factible.
Este tipo de problemas carece de solución. |

SOLUCION: Es un conjunto de valores para las variables o bien un vector X = (x1 , x2 , ... , xj , xj+1 , ... , xn , xn+1 , ... , xn+m ) que satisface al conjunto de...