tlayudas

En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) onegativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
El concepto de valor absoluto de un número real puedegeneralizarse a muchos otros objetos matemáticos, como
son los cuaterniones,anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Valor absoluto de un número real
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real  está definido por:2

Note que, por definición, el valor absoluto de  siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto deun número real  es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el
concepto de función distancia o métricaen matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la
diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real
[editar]Propiedades fundamentalesNo negatividad

Definición positiva

Propiedad multiplicativa

Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)
[editar]Otras propiedades

Simetría

Identidad de indiscernibles

Desigualdad triangular

(equivalente a la propiedad aditiva)

Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Otras dos útiles inecuaciones son:


Estas últimas son degran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:





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 Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1Demostración



Hay dos posibles casos:
Caso 1: 



Caso 2: 


Propiedad 2
Si 
Demostración:(ejercicio para el estudiante)

Propiedad 3
Si 

Demostración

Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:

en particular:

Usando esta definición se tiene que:


Propiedad 4


Demostración:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 5
Si  entonces 

Demostración
Aquítambién usaremos el hecho de que:

Si 
  

Propiedad 6


Demostración

, se tiene que:





Propiedad 7
Sea  una variable real y  un número real positivo:


Interpretación geométrica de esta propiedad
 

 
Demostración

Como
                       
 



 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 Propiedad 8
Sea  una variable real y  un número real positivo entonces:
 
Demostración

Como , se tiene:
 



 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 





 
Resolviendo esta inecuación:

De aquí se tiene:



Interpretación geométrica de esta propiedad:


Propiedad 9

Sea  una variable real y  un número realpositivo entonces:

Demostración
Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada, dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.
Interpretación geométrica de esta propiedad:


Propiedad 10

Sea  una variable real y  un número real positivo entonces:
i.

 
 
ii.

Demostración

Un procedimiento usado para demostrar esta propiedad essimilar al usado para demostrar la propiedad 8.
Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.
Interpretación geométrica de esta propiedad:
i. 

ii. 


Propiedad 11



Demostración

Sabemos que 
CASO 1:      

              (*)

Además como   entonces  y como  entonces:  (**)
Así por (*) y (**) se tiene que:

  (I)
 
CASO 2:      
 





 
 
 
 
 ...