Topologia General

Topología General

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Breve reseña histórica
Sus orígenes están asociados a la obra de Euler, Cantor y Möbius. La palabra
topología había sido utilizada en 1847 por J.B Listings en un libro titulado
Vorstudien zur Topologie. Este había sido un alumno de Gauss en el año 1834.
Usaba el término topología para lo que preferíallamar “geometría de posición”, sin
embargo von Staudt usaba este último para la geometría proyectiva.
Para algunos historiadores de las matemáticas, el punto decisivo fue dado por la
publicación de Análisis Situs de Poincaré en 1895.
La geometría elemental maneja las magnitudes (longitud, ángulos y áreas) que son
invariantes por movimientos rígidos, (transformaciones isométricas o que conservanla medida), mientras que la geometría proyectiva trata los conceptos (puntos, línea,
incidencia, razón simple) que son invariantes por el grupo, todavía más extenso, de
las transformaciones proyectivas (proyectar, seccionar). Pero los movimientos
rígidos y las proyecciones son casos muy particulares de las transformaciones
topológicas que son correspondencias biunívocas y bicontinuas entre dosconjuntos.
La topología estudia entonces los conceptos invariantes frente a dichas
transformaciones.
Felix Hausdorff creó una teoría de espacios abstractos usando la noción de
vecindario (Grundzüge der Mengenlehre, 1914). Un espacio topológico se define
como un conjunto de puntos junto con una familia de vecindarios asociados a ellos.
Aquí hay varias nociones que se establecen: espacio compacto,conexo, separable.
También es aquí donde entra la idea de homeomorfismo. Una vez establecido esto,
se formula la topología conjuntista como aquélla que estudia las propiedades
invariantes bajo homeomorfismos. Hausdorff también dio la noción de completitud,
que el mismos Fréchet había usado en 1906. Usó la noción de conectividad,
planteada antes por otros matemáticos (aunque él no lo sabía), Paraconsiderar
conjuntos conexos como ideas topológicas.
Hausdorff formalizó la topología conjuntista mediante una nueva concepción de
geometría en la cual un espacio tiene una estructura que consiste en relaciones que
pueden definirse en términos de un grupo de transformaciones. Con el trabajo de
Hausdorff se afirmó la topología conjuntista como una disciplina propia dentro de
las matemáticas.
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En el siglo XX, la topología se afirmó como una nueva disciplina con toda
propiedad dentro de las matemáticas, el igual que la geometría, el álgebra o el
análisis, y participó de un espíritu de convergencia que ha caracterizado buena parte
de las matemáticas modernas; se trata de la utilización de métodos de una disciplina
en las otras, potenciando constantementenuevas ramas de un árbol cada vez más
complejo y diversificado.

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Conjuntos
Con el interés de identificar un elemento de una colección de conjuntos, algunas
veces es conveniente adjudicar un “nombre” a cada elemento.
Definición 0.1 Sea A una colección no vacía de conjuntos. Una función indexada
para A es una función sobreyectiva f de un conjunto J denominado conjunto de
índices, en A.La familia A, junto con la función f , se denomina familia indexada de
conjuntos.
Dado α ∈ J , representaremos el conjunto f (α ) por Aα Y denotamos la familia
indexada, propiamente dicha, mediante

{ Aα }α∈J
que se lee como “la familia de todos los Aα cuando α recorre J”. En ocasiones

escribiremos { Aα } , si no ofrece dudas cuál es el conjunto de índices.

Obsérvese que, aunque es necesarioque una función indexada sea sobreyectiva, no
se necesita que sea inyectiva. Aα y Aβ pueden ser el mismo conjunto de A, incluso
si α ≠ β .
Una forma de usar funciones indexadas es dar una nueva notación para uniones e
intersecciones arbitrarias de conjuntos. Supongamos que f : J → A es una función
indexada para A ; representemos f (α ) por Aα . Entonces definimos:

UA

α ∈J

α

= { x : al menos...