torres de hanoi

Funciones de Variable Compleja
Sea x, y  0, 0

y
z  x  iy.

La forma trigonométrica de z está dada por:
z  rcos   i sin 
donde r  z  0, y   argz es el argumento de z. Cuando   , ,  se llama argumento
principal de z y se denota por Argz.
No definiremos ningun argumento para el número complejo 0  0  0i.

Theorem de Moivre Sea
z  rcos   i sin cualquier número complejo dado en forma trigonométrica y sea n cualquier
entero positivo, entonces
z n  r n cos n  i sin n.
Del teorema de Moivre se deducen las siguientes propiedades:
Si z 1  r 1 cos  1  i sin  2 , z 2  r 2 cos  2  i sin  2  son cualesquiera dos números complejos distintos
de cero, entonces
z 1 z 2  r 1 r 2 cos 1   2   i sin 1   2 
z 1  r 1cos     i sin   
1
2
1
2
z2
r2
En particular:
1
1
z 1  r 1 cos  1  i sin  1 .

Conjuntos de números complejos
Definition Sea a un número complejo cualquiera y r un número real positivo, las
desigualdades:
 z  a  r,  z  a  r,  z  a  r,
denotarán, respectivamente el disco abierto de radio r con centro en z  a, el
disco cerrado de radio r con centro en z a y la circunferencia de radio r y
centro en z  a.
Claim Si

z  z 1  iz 2 y a  a 1  ia 2 ,
|z  a|  r
 |z 1  a 1   iz 2  a 2 |  r

 z 1  a 1  2  z 2  a 2  2  r 2
el cual, es el conjunto de puntos z 1 , z 2  del plano cuya distancia a a 1 , a 2  es
menor que r.
Definition Sea S un conjunto de números complejos. Se dice que S es abierto si cada
punto de Spuede ser centro de un disco abierto de radio positivo; en términos
más formales, S es abierto si
 z 0  S,  rz 0   0 : z, que cumpla |z  z 0 |  rz 0 , pertenece a S.

Definition Un conjunto S de números complejos es conexo si cada par de puntos de S
se pueden unir por una trayectoria poligonal completamente contenida en S. Y
se dice que S es una región o dominio si S es abierto yconexo.
Definition Una región o dominio S es simplemente conexo cuando toda curva cerrada
en S contiene en su interior solamente puntos de S.
Example Describir el conjunto: |z  1|  |z|.
Solución:
|z  1|  |z|
 |z  1| 2  |z| 2
 z  1z  1  z z
 z  1 z  1   z z
 zz  z  z  1  zz
 1  z z
 1  2 Rez
 ½  Rez.
Así, el conjunto es un dominio.

Funciones ytransformaciones
Definition Sea D un dominio. Si asignamos a cada punto z  D un número complejo
único w  fz decimos que la ecuación w  fz define una función de valores
complejos en D. Llamamos a D el dominio de la función. Para cada z en D,
denotamos por w  fz la imagen de z. El conjunto de todas las imágenes
w : w  fz, z  D
se llama conjunto imagen de la función.
No se cae enninguna ambiguedad al usar fz, la ecuación w  fz o aún f para denotar la función
definida en D.
Si el conjunto imagen lo denotamos por E llamaremos también a fz una transformación del dominio D
en el conjunto E.

Example Definimos las transformaciones más simples donde D  E   :
fz  z  b, b  C fijo
que traslada el plano complejo a una distancia de |b| unidades en la direccióndel argumento de b y la función
fz  az, a  C fijo, a  0.
que rota el número complejo z por un ángulo igual a arg a y lo expande o
contrae por un factor |a| (recordemos la interpretación geométrica de la
multiplicación).

Notation si w  fz es una transformación de D en E donde z  x  iy, w  u  iv
siendo reales x, y, u, v podemos escribir
fx  iy  ux, y  ivx, y
ypensar en la transformación en términos de un par de funciones de valores
reales uy, y y vx, y definidas de D  R 2 a R
ux, y  Re fz , vx, y  Imfz.
Definition una función fz definida en el dominio D tiene límite en z 0 , en D si existe
un número complejo L con la propiedad siguiente:
  0, , z 0   0, tal que |fz  L| , siempre que z  D, y 0  |z  z 0 | , z 0...