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UBA 02-05-2009

An´lisis Matem´tico II
a
a

Primer Parcial Tema 1

 √
 3 x + y si x2 + y 2 < 1
1. Sea f (x, y) =
 −y
si x2 + y 2 ≥ 1
(a) Describir en coordenadas polares el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 / f (x, y) ≥ 0}
(b) Analizar la continuidad de f (x, y) en los puntos del eje x.
2. Sea g : R → R2 , g(t) = (−t + 3, et ) y sea f : R2 → R una funci´n diferenciable en R2 tal que
oel plano tangente al gr´fico de z = f (x, y) en el punto (3, 1, 6) tiene ecuaci´n z = a x+b y +1.
a
o
Si se sabe que la funci´n h(t) = f (g(t)) es tal que h (0) = 2, determinar a y b.
o
√
√
o
3. Sea X(u, v) = ( u2 + 1 cos(v), u2 + 1 sen(v), u), − π ≤ v ≤ π , u ∈ R una parametrizaci´n
2
2
de la superficie S. Calcular la intersecci´n de S con el plano tangente a S en el punto (1, 0, 0).
oGraficar.
g(h, 2) − g(0, 2)
= 36 y sea z = f (x, y)
h→0
h
∂g
definida impl´
ıcitamente en un entorno de (0, 2, f (0, 2)) por x2 z+y z 3 −2 x y+x ∂x (x, y) = 128.

o
4. Sea g : R2 → R es una funci´n C 2 (R2 ) tal que lim

Dar la direcci´n de derivada direccional m´
o
ınima f en (0, 2) y hallar su valor.
5. Sea g(x, y) = f (x, y) + sen[(x − 1) (y + 1)] siendo f : R2 → R es una funci´nC 3 (R2 ) tal que
o
su desarrollo de Taylor de orden 2 en (1, −1) es p(x, y) = x2 + 2 y 2 − x y − 3 x + 5 y + 2.
Analizar si g tiene un extremo en (1, −1) y en caso afirmativo clasificarlo y dar el valor.

UBA 04-05-2009

An´lisis Matem´tico II
a
a

Primer Parcial


 (x − 1) (y + 1) si y ≥ x2
1. Sea f (x, y) =
 x2 − y
si y < x2
a) Grafique el conjunto de nivel 0 de f .
b)Halle todos los puntos del domino de f donde la funci´n es continua.
o
2. Sea f : R2 → R, una funci´n C 3 (R2 ) tal que su polinomio de Taylor de orden 2 en (2, 7) es
o
p(x, y) = x2 − (1/2) x y + (1/2) x + 4. Sea g : R3 → R definida por
g(x, y, z) = f (x2 + y − z 3 , 3 x + 2 y z) − 2 x2 . Verifique que el punto P = (1, 2, 1) pertenece a
la superficie de nivel 0 de g(x, y, z) y halle el planotangente a dicha superficie en P .
3. Halle a de manera que f (x, y) = x3 + y 3 + a x − 12 y + 1 tenga extremo en (1, 2). Con ese
valor de a, clasifique todos los puntos cr´
ıticos de f .
4. Sea la curva C intersecci´n de las superficies S1 y S2 en primer cuadrante, conS1 : {(x, y, z) ∈ R3
o
tal que x+2z=1)yX(u,v)=(u, u2 , v), (u, v) ∈ R2 , una parametrizaci´n de S2 .
o
Grafique la curva y encuentrelos puntos de C donde el vector tangente es paralelo al plano
x + y + 4 z = 0.
5. Pruebe que la ecuaci´n 2 z ln(y − x) + x y + x z 2 − 3 = 0 define impl´
o
ıcitamente en un entorno
del punto (1, 2, 1) a z = f (x, y). Halle un valor aproximado de f (0,98, 2,02).

UBA 23-05-2009

An´lisis Matem´tico II
a
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Recuperatorio - Tema 1

1. Sean g(t) = et , y f (x, y, z) = x2 + y 2 − 2z.a) Grafique la superficie de nivel de la funci´n h(x, y, z) = (g ◦ f )(x,y,z) que pasa por el punto
o
(0, 0, −1).
b) Parametrice la curva intersecci´n de la superficie del punto anterior, con el plano z = y.
o
2. Calcule la derivada direccional de f (x, y) = x + x2 y, en el punto P0 = (1, 2), seg´n la direcci´n
u
o
y2
del vector tangente a la curva C definida por x2 +
= 2 en P0 , y consentido de manera que
4
la coordenada x del vector tangente sea positiva.
3.

a) Demuestre que la ecuaci´n z 2 x + z y 2 + 3 ex y+2 = 0 define impl´
o
ıcitamente a z = f (x, y)
en un entorno de Q0 = (−2, 1, −1).
b) Encuentre la ecuaci´n de la recta tangente a la curva C intersecci´n del gr´fico de f con
o
o
a
el plano x = −2, en el punto Q0 .

4. Sea f : R2 → R una funci´n C 3 (R2 ) tal quesu polinomio de Taylor de orden 2 en (1, 2) es
o
p(x, y) = a x2 + 2 y 2 − x y +

7
6

. Encuentre a sabiendo que el plano tangente al gr´fico de
a

z = f (x3 , x + y) en el punto (1, 1, z0 ) es paralelo al eje x. Escriba la ecuaci´n cartesiana de ese
o
plano.
5. Estudie los extremos de f (x, y) = 2 x3 + 3 y 3 + 3 x2 y − 36 y + 1.

UBA 27-05-2009

1. Dada f (x, y) =
nadas...