Trabajo#1
Páginas: 2 (468 palabras)
Publicado: 26 de agosto de 2014
de la suma de dos ángulos
Sean a y b ángulos del primer cuadrante, vamos a ver que:
sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)
La restricción no quita generalidad a la fórmula pues siempre podemos reducir los ángulos del
segundo, tercer y cuarto cuadrante al primero.
El área de los triángulos T, P y Q valen:
T=1/2 h h1 sen(a+b)
P=1/2 h m sen(a)
Q=1/2 h1 m sen(b)
pero observemos que:
m = h1cos(b)
m = h cos(a)
que sustituyendo en P y Q respectivamente, nos da:
P=1/2 h h1 sen(a) cos(b)
Q=1/2 h h1 sen(b) cos (a)
además sabemos que el área de T es igual al área de P más el área de Q, por tanto:
1/2 h h1 sen(a+b) = 1/2 h h1 sen(a) cos(b) + 1/2 h h1 sen(b) cos(a)
de donde:
sen(a+b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)
Ejercicio. Calcula el seno de 75º sin ayudarte de la calculadora.
Seno de la diferencia de dos ángulos
Cambiando b por b, nos queda
sen(ab) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)=
=sen(a) cos(b) sen(b) cos(a)
sen(ab) = sen(a) cos(b) sen(b) cos(a)
Ejercicio. Calcula el seno de 15º sin ayudarte de la calculadora.
Coseno de la suma de dos ángulos
Sabemos que cos(x)=sen(90ºx), así que utilizando la fórmula anterior del seno y esta relación
podemos obtener:
cos(a+b)=sen(90º(a+b))=sen((90ºa)+(b)) = sen(90ºa)cos(b)+cos(90ºa)sen(b) =
=cos(a) cos(b) +sen(a)(senb) =
= cos(a) cos(b) sen(a) sen(b)
cos(a+b) = cos(a) cos(b) sen(a) sen(b)
Coseno de la diferencia de dos ángulos
Para obtener la fórmula podemos proceder como en el apartado anterior, pero vamos a ver otra
demostración muy sencilla basada en el teorema de Pitágoras.
PI2=HI2+KP2=MI2+MP2
KI=1cos(ba)
KP=|sen(ba)|
MI=|cosbcosa|
MP=|senbsena|
de donde:
PI2=1+cos2(ba)2cos(ba)+sen2(ba)=
=cos2b+cos2a2cosbcosa+sen2b+sen2a2senbsena
...
Sean a y b ángulos del primer cuadrante, vamos a ver que:
sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)
La restricción no quita generalidad a la fórmula pues siempre podemos reducir los ángulos del
segundo, tercer y cuarto cuadrante al primero.
El área de los triángulos T, P y Q valen:
T=1/2 h h1 sen(a+b)
P=1/2 h m sen(a)
Q=1/2 h1 m sen(b)
pero observemos que:
m = h1cos(b)
m = h cos(a)
que sustituyendo en P y Q respectivamente, nos da:
P=1/2 h h1 sen(a) cos(b)
Q=1/2 h h1 sen(b) cos (a)
además sabemos que el área de T es igual al área de P más el área de Q, por tanto:
1/2 h h1 sen(a+b) = 1/2 h h1 sen(a) cos(b) + 1/2 h h1 sen(b) cos(a)
de donde:
sen(a+b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)
Ejercicio. Calcula el seno de 75º sin ayudarte de la calculadora.
Seno de la diferencia de dos ángulos
Cambiando b por b, nos queda
sen(ab) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)=
=sen(a) cos(b) sen(b) cos(a)
sen(ab) = sen(a) cos(b) sen(b) cos(a)
Ejercicio. Calcula el seno de 15º sin ayudarte de la calculadora.
Coseno de la suma de dos ángulos
Sabemos que cos(x)=sen(90ºx), así que utilizando la fórmula anterior del seno y esta relación
podemos obtener:
cos(a+b)=sen(90º(a+b))=sen((90ºa)+(b)) = sen(90ºa)cos(b)+cos(90ºa)sen(b) =
=cos(a) cos(b) +sen(a)(senb) =
= cos(a) cos(b) sen(a) sen(b)
cos(a+b) = cos(a) cos(b) sen(a) sen(b)
Coseno de la diferencia de dos ángulos
Para obtener la fórmula podemos proceder como en el apartado anterior, pero vamos a ver otra
demostración muy sencilla basada en el teorema de Pitágoras.
PI2=HI2+KP2=MI2+MP2
KI=1cos(ba)
KP=|sen(ba)|
MI=|cosbcosa|
MP=|senbsena|
de donde:
PI2=1+cos2(ba)2cos(ba)+sen2(ba)=
=cos2b+cos2a2cosbcosa+sen2b+sen2a2senbsena
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