Trabajo De Algebra

Vector
Un vector fijo  es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Elementos de un vector
Dirección de un vector: La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido de un vector: El sentido del vector  es el que va desde el origen A al extremo B.
Módulo de un vector: El módulo del vector  es lalongitud del segmento AB, se representa por. El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

Ejemplo de un vector
Dado los puntos A = (1,1) y B = (3,5). Halle el vector
El vector = B – A
= (3,5) – (1,1)
= (3-1, 5-1)
= (2,4)
Como se calcula la magnitud de un vector
Se parte de la definición de vector, para respaldar el hecho de la magnitud como la medida del segmento. Se utiliza elTeorema de Pitágoras para comprobar su relación con la magnitud de un vector.
Recordemos que un vector se define como un segmento dirigido, lo que significa que, al ser un segmento se puede medir, y al ser dirigido tiene dirección y sentido. En este video se explica la medida del segmento dirigido o magnitud.
Para determinar la magnitud de un vector necesitamos, en primer lugar, un vector quellamaremos a. Dicho vector a, al ser representado en un plano, tiene coordenadas (X, Y), lo que significa que la cabeza del vector está en ese punto. Si se proyecta la cabeza del vector sobre el eje x se genera un triángulo rectángulo. El vector dentro del triángulo rectángulo es la hipotenusa. Si aplicamos el teorema de Pitágoras, que nos dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma delos catetos al cuadrado. Para nuestro caso particular la hipotenusa es el vector, y los catetos al cuadrado son las coordenadas en “X” y “Y”. La medida de la hipotenusa es igual a la medida o magnitud del vector, la cual se simboliza como el vector encerrado dentro de un “doble valor absoluto”. Debe recordarse que al tratarse de una magnitud solamente se toma la medida positiva, es decir, no haysegmentos que puedan ser medidos negativamente. Al final del video se realizan varios ejemplos prácticos para ilustrar acerca de cómo encontrar la magnitud de un vector.
Ejercicio
Dado el siguiente vector Ā = (2,3); halle la magnitud del vector

Ā = (2,3)



Vector unitario
Son aquellos vectores cuya magnitud es la unidad y están según la parte positiva de los ejes X, Y.
Un vector unitario esaquél que tiene módulo 1.
Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos X, Y Z se emplean los vectores I, J, K.
Los vectores unitarios se utilizan para especificar una dirección determinada y no tienen otro significado físico. Se usan sólo por conveniencia en la descripción de una dirección en el espacio.
Como transformamos unvector a unitario
Se denota así:

Ejemplo:

Su módulo es:

Para convertirlo tomamos el vector por su módulo

Por ejemplo; tenemos el vector




Todavía no es un vector unitario, para convertirlo tomamos:


Ahora si es unitario y se puede comprobar
Como se demuestra que dos vectores son paralelos u ortogonales
Demostración de que dos vectores son paralelos
Es posible corroborar si dosvectores son paralelos. Para que dos vectores sean paralelos es necesario que uno sea el otro multiplicado por un escalar. Esto quiere decir que u es paralelo a v si y solo si u=kv. El paralelismo no depende del producto interno, es decir que si dos vectores son paralelos para algún producto interno lo serán para todos, sin importar como está definidos.
Dos vectores son perpendiculares si almultiplicarlos el resultado es 0. Es importante tener en cuenta el producto interno, ya que, depende del mismo (no como el paralelismo).
Demostración de que dos vectores son ortogonales
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.
Si además de ortogonales los vectores son unitarios se llaman ortonormales.
A veces nos piden construir una base ortonormal a partir de otra base que no es...