Trabajo Final De Matematicas

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR
“H. CONSEJO PROVINCIAL DE PICHINCHA”



Módulo de Matemática Aplicada
Tecnología en Administración de Empresas



AUTOINSTRUCCIONAL DEL MÓDULO DE MATEMÁTICA APLICADA



Alumna(o):


Profesora de la asignatura: MSc Margarita Rojas





Lugar y fecha





OBJETIVOS
Objetivo General:


Objetivos Específicos




Justificación



















INDICETRABAJO AUTOINSTRUCCIONAL
Números reales
1. Enuncie y defina cada uno de los axiomas de cuerpo de los números R reales con la adición y multiplicación.
AXIOMAS.
Agruparemos los axiomas en tres grupos: Los axiomas de cuerpo (asociados a la igualdad), los axiomas de orden (asociados a la desigualdad) y el axioma del supremo (que marca la diferencia entre los reales y los racionales).Juntando todos los axiomas que satisface R, suele decirse, en pocas palabras que R es un Cuerpo Ordenado Completo y Arquimediano.

Axiomas de Cuerpo de los Reales

Los axiomas de R sobre la igualdad también son llamados axiomas de cuerpo de los reales. Los agrupamos en un total de 5, de los cuales los dos primeros son los siguientes:

Axioma 1. (Conmutativa)
a) Cualesquiera que sean los reales x, ydados, su suma es un real y es independiente del orden en que se usen los dos sumandos, es decir:

(x, y ∈ R) x + y = y + x.

b) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su producto es un real y es independiente del orden en que se haga el producto, es decir:

(x, y ∈ R) x · y = y · x.


Axioma 2. (Asociativa)

a) (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z
b) (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x ·y) · z

Observemos que el axioma de la asociativa NO DICE que x + (y + z) =
(x + z) + y. Sin embargo esta última igualdad es cierta, gracias a la combinación apropiada de los dos axiomas anteriores.

En efecto:

x + (y + z) = x + (z + y) Por el axioma 1
= (x + z) + y Por el axioma 2.

Por lo tanto, combinando los dos axiomas anteriores, se concluye que los operando de unatriple suma, se pueden reordenar de cualquier forma, sin alterar el resultado. Es por esta razón, que en general, cuando hay varios sumandos, no se usan los paréntesis, a no ser que sea estrictamente necesario.

Axioma 3. (Distributiva)

a) (∀x, y, z ∈ R) x(y + z) = xy + xz
b) (∀x, y, z ∈ R) (x + y)z = xz + yz

Observemos que en este tercer axioma, la propiedad (b) es una consecuencia de lapropiedad (a) más los axiomas previos (más precisamente, el de conmutatividad del producto). Es decir, este axioma
es redundante y por lo tanto no debiera ser axioma. Sin embargo, llamaremos a ambas propiedades axiomas, pudiéndose utilizar libremente, una o la otra, en las demostraciones.

Axioma 4
a) Existencia de elemento neutro para la suma

En R existen ciertos números denotados por la letra e que noafectan el resultado de la operación suma. Es decir

(x ∈ R) x + e = x.

Todo elemento e que cumpla esta propiedad se dirá neutro para la suma.
Notemos que este axioma solo garantiza la existencia de elementos neutros para la suma y no nos dice cuántos hay.

Si revisamos nuestros antiguos conocimientos de R, recordaremos que hay solo un neutro. Esta última afirmacion puede demostrarse usando losaxiomas, y la llamaremos un teorema.

Teorema 1.1. El elemento neutro para la suma es ´único.

Observación: Una vez demostrado el teorema, podremos ponerle un nombre especial al ´único neutro aditivo. Lo llamaremos “cero” y lo denotaremos 0.

Veamos la demostración del teorema:
Demostración. Usando el axioma anterior, sabemos que existen elementos neutros. Digamos que hemos encontrado uno y lollamamos e1. Este real satisface la propiedad

(x ∈ R) x + e1 = x. (1.1)

Pensemos que por algún otro camino hemos encontrado un neutro e2, pero no sabemos si es o no el mismo anterior. Este neutro satisface la propiedad

(x ∈ R) x + e2 = x (1.2)
Para demostrar que el neutro es ´único, debemos probar que necesariamente e1 = e2, y así sabremos que cada vez que encontremos un neutro, este será...