Trabajo

Algunas propiedades y definiciones ´ del Algebra Matricial
Luis Gonz´lez a Departamento de Matem´ticas a Universdad de Las Palmas de Gran Canaria

Introducci´n o
Las propiedades enunciadas se sobreentienden v´lidas siempre que las matria ces involucradas sean del orden adecuado para que las correspondientes operaciones matriciales sean posibles. N´tese que la propiedad asociativa de la suma yo producto de matrices permite extender algunas de las propiedades para la suma o producto, respectivamente, de dos matrices a la suma o producto, respectivamente, de un n´mero finito de matrices. Cuando una propiedad no se verifica lo u indico escribiendola entre ⊗ ⊗ ⊗.

1.

Suma y producto por un escalar
(Am×n ± Bm×n )m×n , (λ Am×n )m×n (A + B) + C = A + (B + C) (asociativa) A + B = B + A(conmutativa) A + 0 = A = 0 + A (neutro) A + (−A) = 0 = (−A) + A (sim´trico/opuesta) e λ (A + B) = λA + λB (λ + µ) A = λA + µA λ (µA) = (λµ) A 1·A=A A + B = A + C ⇒ B = C (cancelativa) En una matriz se saca un escalar no nulo factor com´n de toda la matriz u

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2.

Producto matricial
(Am×n · Bn×p )m×p (A · B) · C = A · (B · C) (asociativa) A (B + C) = AB + AC, (B + C) A = BA + CA(distributiva) A · I = A = I · A (neutro) ∃ An , Bn = 0n tal que An · Bn = 0n (divisores de cero) (λA) (µB) = (λµ) (AB) y esto se generaliza al producto de un numero finito cualquiera de matrices. ⊗ ⊗ ⊗ A·B =B·A ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ (A ± B) = A2 ± 2AB + B 2 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ (A + B) (A − B) = A2 − B 2 ⊗ ⊗ ⊗       a11 b11 b11 a11       .. .. ..  = ·  . . . ann bnn bnn ann y esto se generaliza al producto deun numero finito cualquiera de matrices diagonales.
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3.

Potencia de una matriz cuadrada

La potencia de una matriz cuadrada (con exponente entero no negativo) se define como:
p

A0 = I, Ap n×n
p q q n×n

A1 = A,

Ap = A · · · · ·A, ∀ p ≥ 2.

A · A = Ap+q (Ap ) = Ap·q (λA) = λp Ap (−A) = (−1) Ap ⊗ ⊗ ⊗ (AB) = Ap B p ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ El Teorema del binomiode Newton no vale para matrices cuadradas⊗ ⊗ ⊗   p  p a11 a11     .. ..    = . . p ann ann
p p p p

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0

2

4.

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz se obtiene cambiando sus filas por columnas, o alternativamente, sus columnas por filas. AT m×n AT
T n×m

= A (involutiva)
T

(A + B) = AT + B T (linealidad para +) (λA) = λAT (linealidadpara ·R) (A − B) = AT − B T (−A) = −AT (AB) = B T AT (reverse order law for the transpose) y esto se generaliza al producto de un numero finito cualquiera de matrices. (Ap ) = AT
T p T T T T

5.

Traza de una matriz cuadrada
n

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal: tr (A) =
i=1

aii .

tr (0n ) = 0,

tr (In ) = n

tr AT = tr (A) tr (A +B) = tr (A) + tr (B) (linealidad para +) tr (λA) = λtr (A) (linealidad para ·R) tr (A − B) = tr (A) − tr (B) tr (−A) = −tr (A) tr (AB) = tr (BA) ⊗ ⊗ ⊗ tr (AB) = tr (A) · tr (B) ⊗ ⊗ ⊗: La traza no se factoriza.

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6.

Rango de una matriz

El rango r (A) de una matriz Am×n es el n´mero de filas no nulas de cualu quiera de sus formas escalonadas. Es el m´ximo n´mero de filas linealmente a uindepedientes. Es el m´ximo n´mero de columnas linealmente indepedientes. a u Es el orden del mayor menor (determinante) no nulo que puede extraerse de la matriz A. r AT = r (A) 0 ≤ r (Am×n ) ≤ min {m, n} r (Am×n ) = 0 ⇔ Am×n = 0m×n Las transformaciones elementales (de fila o de columna) no alteran el rango r (λAm×n ) = r (Am×n ) , ∀ λ = 0 r (Qm Am×n Pn ) = r (Am×n ) , ∀ Qm , Pn regulares(full-rank).

7.

Determinante de una matriz cuadrada

El determinante de una matriz cuadrada se define recursivamente mediante el desarrollo por adjuntos de cualquiera de sus filas o columnas hasta reducirlos a orden 1 ´ 2: o |a11 | = a11 , a11 a21 a12 a22 = a11 a22 − a12 a21 .

AT = |A|. Toda propiedad de los determinantes para filas vale para columnas y viceversa. Llamamos linea a fila o columna,...