Trabjo De Habilidades

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Distribución Muestral de la Proporción

16.1 INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior hemos estudiado cómo se distribuye la variable
aleatoria “media aritmética de n valores independientes”. A esta distribución la
hemos llamado distribución muestral de la media. De la misma forma, podemos
estudiar cómo se distribuyen otros estadísticos. En particular, es de gran utilidad
conocer cómo sedistribuye la variable aleatoria “proporción de n observaciones
independientes que cumplen una condición especificada” o, lo que es lo mismo, la
distribución muestral de la proporción.

16.2 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y LA PROPORCIÓN DE CASOS
Supongamos una población para la que representamos por π a la proporción
de casos que cumplen una determinada condición, como por ejemplo ser varón,tener abierto un crédito hipotecario u opinar que actualmente el problema más grave
que afronta España es el paro. Nos preguntamos cuál sería la proporción de casos
(P) que cumplirían esa misma condición en una muestra de n observaciones

1

independientes extraídas de esa población. Como bien sabemos, la variable aleatoria
“número de casos que cumplen una condición”, siendo independienteslas
observaciones, se distribuye B(x; n, π). Supongamos, por ejemplo, que el 40% de
una población son favorables a una determinada proposición (π=0.40). Al encuestar
a una m.a.s. de 8 personas el número de personas de la muestra que son favorables
puede ser cualquier valor de 0 a 8. Las probabilidades de cada uno de estos valores
vienen dadas por la distribución binomial. Son las siguientes(véase la tabla II del
libro):

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

P(Xi=X) .017 .090 .209 .279 .232 .124 .041 .008 .001
En realidad la proporción de favorables en cada caso no es más que el número
de favorables partido por el número de encuestados (tamaño de la muestra). Dicho
en otras palabras, la proporción (P) es una transformación lineal del número de casos
(X),

P=

X
nLa probabilidad asociada a cada valor de P es la asociada al valor
correspondiente de X,

X

0

P

0

1

2

3

4

5

6

7

.125 .250 .375 .500 .625 .750 .875

8
1

P(Pi=P) .017 .090 .209 .279 .232 .124 .041 .008 .001
Esta es la forma de expresar las probabilidades de que la proporción de casos
que en la muestra cumplen la condición adopte cada uno de sus valoresposibles. En

2

otras palabras, expresa la Distribución Muestral de la Proporción para cuando π =
0.40 y n = 8. Así, la probabilidad de que la proporción de favorables sea 0.125 (uno
de los ocho) es igual a 0.090, mientras que la de que sean favorables al menos la
mitad, P ≥ 0.500 (cuatro o más de los ocho), es la suma de las probabilidades
asociadas a 0.500, 0.625, 0.750, 0.875 y 1; esdecir, 0.406. En cada caso, las
probabilidades dependerán de dos cantidades, el tamaño de la muestra (n) y la
probabilidad (π) de que en cada observación individual se cumpla la condición, que
son los parámetros de la distribución binomial. Resumiendo,

Si

Entonces

(a) La probabilidad de que al hacer una observación, ésta
cumpla una determinada condición es igual a π,
(b)
Serealizan n de esas observaciones, de forma
independiente, y
(c) Se calcula la proporción de esos n casos que cumplen la
condición (P),
La variable aleatoria Pi se distribuye B(X; n, π), con
probabilidades correspondientes a X.

Respecto a las características de la distribución, conviene recordar que su
valor esperado y su varianza son los correspondientes a los de la variable
transformada;aplicando las propiedades del producto de una constante,

E(P) = E(X/n) =

1
1
⋅ E(X) = ⋅ n ⋅ π = π
n
n

1
π ⋅ (1 − π )
1
σ (P ) =   ⋅ σ 2 (X ) = 2 ⋅ n ⋅ π ⋅ (1 − π ) =
n
n
n
2

2

3

Es decir, el valor esperado de la proporción es igual al propio parámetro π,
mientras que su varianza depende (como en el caso de la media) del tamaño
muestral. Como n está en el...