Tranformaciones Lineales

TRANSORMACIONES LINEALES
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformacioneslineales.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, laingeniería y en diversas ramas de la matemática.

5.1- Introducción a las transformaciones lineales.
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal
de V a W es una función T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier
escalar c:

T(u + v) = T(u) + T(v) ------------(a)

T(c u) = c T(u-----------------------(b)

Para (a): cualesquiera seanu y v en V.
Para (b): para cada u en V y cada escalar c.

Observe que en (a), de la definición anterior, el signo (+) en u + v del lado izquierdo de la ecuación se refiere a la operación de suma en V, mientras que el signo (+) en T(u) +T(v) del lado derecho de la ecuación se refiere a la operación de suma en W. De manera análoga en (b) el producto escalar cu estaen V, mientras que el producto escalar cT(u) esta en W.

Ejemplo







5.2 EL NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Una transformación lineal T: V  W es uno a uno ( oinyectiva ) si para todo v1, v2 en V, v1 diferente de v2 implica que T(v1) es diferente de T(v2). Una afirmación equivalente es que T es uno a uno si para todo v1,v2 en V,T(v1)=T(v2) implica que v1=v2.Esta definición dice que T es uno a uno si T(v1) y T(v2) son distintos cuando v1 y v2 son disitintos.

Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W.

Ker(T) = {v ∈V | T(v) = 0 ∈W}






5.3 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Sea T : V W una transformación lineal entre dos espaciosvectoriales V y W de dimensiones finitas.

Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V y B’= {v1′, . . . , vn′} una base de W.

La matriz A m × n cuyas columnas son:

[T(v1)]B′ , . . . , [T(vn)]B′

es la única matriz que satisface:

[T(ṽ)]B′ = A[ṽ]B

para todo ṽ € V .

Definición

La matriz A de la afirmación anterior se llama matriz de T con respecto a B y a B′.
Si V = W y B = B′, A se llamamatriz de T con respecto a B.

Ejemplo:




Ejemplo # 2



5.4 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXION, DILATACION CONTRACCION Y ROTACIÓN.

Rotación por un ángulo Ө
Sea 0 ≤ Ө < 2π un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R^2
en R^2 que gira cada vector U=( U1,U2) un ángulo θ para obtener unvector T(u)=(v1,v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
• Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
v1= ||T(u)||٠cos(α+Ө) = ||(u)||٠(cosα٠cosӨ - senα٠senӨ )
v2= ||T(u)||٠sen(α+Ө) = ||(u)||٠(senα٠cosӨ - cosα٠senӨ )
Distribuyendo y usando el hecho de que U1=||u|| cos α y U2=||u|| sen α
tenemos que:
v1= U1 cos Ө - U2 sen Ө
v2= U2 cos Ө + U1 sen Ө
Por lo tanto, yadescubrimos cómo debe estar definida la transformación T:R^2 → R^2
tal que: T (U1 , U2) = (U1 cos Ө - U2senӨ,U2 cos Ө + U1 sen Ө )
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo Ө
y es lineal, ya que:
T [(U1 , U2)+ λ(v1 , v 2)] = T (u1 + λ v1 , u2 + λ v2 )
= ((u1 + λ v1)cos Ө - (u2 + λ v2) sen Ө, (u2 + λ v2) cos Ө + (u1 + λ v1) sen Ө)
= (u1 cos Ө - u2 sen Ө, u2 cos Ө + u1...