Tranformaciones

 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal
Kernel o Núcleo

Definición:

Sea
una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal, denotado por al conjunto de las pre imágenes del vector nulo, es decir

Ejemplo

Hallar el conjunto de las pres imágenes del vector nulo para la transformación lineal

Solución:

Necesitamosdeterminar los vectores de
tales que

Evaluando

Es decir,

Luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos

Por lo tanto,

Con lo cual,
(X; y; z) = (0;-(1/3) z;z) = z (0;-(1/3);1) Así el conjunto de las pre imágenes del vector nulo es el subespacio

Note que el resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las pre imágenes de un vector para unatransformación lineal dada.

Ejemplo

Determinar el kernel de la siguiente transformación lineal

Solución:

Como tenemos que

Reemplazando

Imagen o Recorrido

Recordemos la definición de recorrido.
Definición Se define la Imagen o Recorrido de una transformación lineal T, esto es T € L (U,V)
como el conjunto de los vectores que tienen al menos una pre imagen.

EjemploDada la transformación lineal

Determinar la imagen de

Solución:

Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen pre imagen.

Para ello, sean

R3
(X; y; z), (a, b, c) €

Tales que   T(x; y; z) = (a, b, c) (2x-y+z; x-y+z; x) = (a, b, c)
Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema

Ahora, resolvamos elsistema buscando la matriz asociada a él, y determinando su escalonada

Luego, un vector tiene pre imagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir
a - c – b = 0

Por lo tanto

Im (T) = {(a, b, c) R3.
/ ((X; y; z) R3
((T(x; y; z)=(a, b, c))
= {(a, b, c) R3.
/a-b-c=0}
= < (1; 1;0);(1;0;1)>:teorema sobre la dimencion del NÚcleo e Imagen |
 
 
Sea una transformación lineal de en; se define el núcleo de como

Nótese que es un subespacio de. Por otro lado, se define la imagen de como

Para algún

Es un subespacio de. Si es un subespacio de y es un subespacio de, entonces los conjuntos

Son subespacios de y respectivamente. Obsérvese que, e. Ladimensión del espacio imagen se conoce como el rango de la transformación, y se denota por.
Ejemplo
Considérese la función definida por

Es una transformación lineal con núcleo y.

Ejemplo

En el espacio de las sucesiones reales convergentes la función definida por

, donde

Es una transformación lineal cuyo núcleo es el espacio de las sucesiones constantes y cuya imagenes el espacio de las sucesiones de límite.
Además, la sucesión constante es una base de y, por otro lado, las sucesiones

Son linealmente independientes, con lo cual y son espacios de dimensión infinita.
Solución. Sea el espacio de sucesiones reales convergentes y, Nótese que efectivamente es una transformación lineal:

Vamos ahora a demostrar que su núcleo son lassucesiones contantes: sea una sucesión convergente de límite de tal forma que , es decir, para cada se tiene que , es decir, , es decir, la sucesión dada es constante.

Finalmente, veamos que la imagen de es el subespacio de las sucesiones de límite cero: sea una sucesión que pertenece a la imagen de, entonces por tanto, luego. Esto prueba que la sucesión dada es de límite cero.

Acontinuación se presenta y se prueba uno de los teoremas básicos del álgebra lineal. }


Teorema 1.
Sea un espacio de dimensión finita y sea una transformación lineal. Entonces.

Demostración.

Sea una base de y un conjunto de vectores de tal que y es una base de. Si es vacío entonces y el teorema se cumple trivialmente. Si , entonces es fácil probar que es una base de con la...