Transformaciones 2D
Páginas: 8 (1810 palabras)
Publicado: 26 de noviembre de 2012
TRANSFORMACIONES 2D
4.1 INTRODUCCIÓN
Una de las mayores virtudes de los gráficos generados por ordenador es la facilidad con se pueden realizar algunas modificaciones sobre las imágenes. Un gerente puede cambiar la escalas de las gráficas de un informe. Un arquitecto puede ver un edificio desde distintos puntos de vista. Un cartógrafo puede cambiar la escala de un mapa. Un animadorpuede modificar la posición de un personaje. Estos cambios son fáciles de realizar porque la imagen gráfica ha sido codificada en forma de números y almacenada en el interior del ordenador. Los números son susceptibles a las operaciones matemáticas denominadas transformaciones.
Las transformaciones nos permiten alterar de una forma uniforme toda la imagen. Es un hecho que a veces es más fácilmodificar toda la imagen que una porción de ella. Esto supone un complemento muy útil para las técnicas de dibujo manual, donde es normalmente más fácil modificar una pequeña porción del dibujo que crear un dibujo completamente nuevo.
Es este capítulo veremos transformaciones geométricas como el cambio de escala, la traslación y la rotación. Veremos como se expresan de una forma sencillamediante multiplicaciones de matrices. Introduciremos las coordenadas homogéneas con el fin de tratar de una manera uniforme las transformaciones y como anticipo de las transformaciones producidas por la perspectiva en los modelos tridimensionales.
MATRICES
Las gráficas que hemos generado están compuestas por un conjunto de segmentos que están representados por las coordenadas de sus extremos.Algunos cambios en la imagen pueden ser fácilmente realizados mediante la aplicación de algunas operaciones matemáticas sobre estas coordenadas. Antes de ver algunas de las posibles transformaciones, repasemos algunas de las herramientas matemáticas que vamos a necesitar, como la multiplicación de matrices.
Para nuestro propósito, consideremos que una matriz es un conjunto bidimensional denúmeros, por ejemplo:
[pic]
Son cuatro matrices diferentes.
La multiplicación de matrices es una operación asociativa. Esto significa que si tenemos varias matrices para multiplicar a la vez, no importa cuales multipliquemos primero. De forma matemática:
A (BC)= (AB) C
Esta es una propiedad muy útil; nos permitirá combinas varias transformaciones gráficas en una sola transformación,produciendo como resultado unos cálculos más eficientes.
Existe un conjunto de matrices que cuando multiplican a otra matriz, la reproducen. Por esta razón reciben el nombre de matrices identidad. Son matrices cuadradas (tienen el mismo número de columnas y de filas) con todos los elementos 0 excepto los elementos de la diagonal principal, que valen todos 1.
Por ejemplo
4.2 TRASLACIÓNEsta operación se usa para mover un objeto o grupo de objetos de manera lineal a una nueva ubicación en el espacio bidimensional.
Trasladar un objeto una distancia tx en x y una distancia ty en y se expresa como:
[pic]
[pic]
[pic]
4.3 CAMBIOS DE ESCALA
¿Cómo se aplica todo esto a las figuras? Bueno, consideremos un punto P1=[x1,y1] como una matriz 1x2 . Si lamultiplicamos por una matriz 2x2 T, obtendremos otra matriz 1x 2 que puede ser interpretada como otro punto.
x2 y2 P2 P1T
Por tanto, la matriz T es una aplicación entre el punto original P1 y el nuevo punto P2. Si suponemos nuestra imagen compuesta por los vértices de un polígono. ¿Qué pasará si transformamos cadauno de los punto mediante una multiplicación por una matriz T y dibujamos el resultado? ¿Qué aspecto tendrá esta nueva imagen? La respuesta, por supuesto, depende de los elementos de la matriz T. Si, por ejemplo, escogemos la matriz identidad entonces la imagen no se verá alterada.
Sin embargo, si escogemos la matriz
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4.1 INTRODUCCIÓN
Una de las mayores virtudes de los gráficos generados por ordenador es la facilidad con se pueden realizar algunas modificaciones sobre las imágenes. Un gerente puede cambiar la escalas de las gráficas de un informe. Un arquitecto puede ver un edificio desde distintos puntos de vista. Un cartógrafo puede cambiar la escala de un mapa. Un animadorpuede modificar la posición de un personaje. Estos cambios son fáciles de realizar porque la imagen gráfica ha sido codificada en forma de números y almacenada en el interior del ordenador. Los números son susceptibles a las operaciones matemáticas denominadas transformaciones.
Las transformaciones nos permiten alterar de una forma uniforme toda la imagen. Es un hecho que a veces es más fácilmodificar toda la imagen que una porción de ella. Esto supone un complemento muy útil para las técnicas de dibujo manual, donde es normalmente más fácil modificar una pequeña porción del dibujo que crear un dibujo completamente nuevo.
Es este capítulo veremos transformaciones geométricas como el cambio de escala, la traslación y la rotación. Veremos como se expresan de una forma sencillamediante multiplicaciones de matrices. Introduciremos las coordenadas homogéneas con el fin de tratar de una manera uniforme las transformaciones y como anticipo de las transformaciones producidas por la perspectiva en los modelos tridimensionales.
MATRICES
Las gráficas que hemos generado están compuestas por un conjunto de segmentos que están representados por las coordenadas de sus extremos.Algunos cambios en la imagen pueden ser fácilmente realizados mediante la aplicación de algunas operaciones matemáticas sobre estas coordenadas. Antes de ver algunas de las posibles transformaciones, repasemos algunas de las herramientas matemáticas que vamos a necesitar, como la multiplicación de matrices.
Para nuestro propósito, consideremos que una matriz es un conjunto bidimensional denúmeros, por ejemplo:
[pic]
Son cuatro matrices diferentes.
La multiplicación de matrices es una operación asociativa. Esto significa que si tenemos varias matrices para multiplicar a la vez, no importa cuales multipliquemos primero. De forma matemática:
A (BC)= (AB) C
Esta es una propiedad muy útil; nos permitirá combinas varias transformaciones gráficas en una sola transformación,produciendo como resultado unos cálculos más eficientes.
Existe un conjunto de matrices que cuando multiplican a otra matriz, la reproducen. Por esta razón reciben el nombre de matrices identidad. Son matrices cuadradas (tienen el mismo número de columnas y de filas) con todos los elementos 0 excepto los elementos de la diagonal principal, que valen todos 1.
Por ejemplo
4.2 TRASLACIÓNEsta operación se usa para mover un objeto o grupo de objetos de manera lineal a una nueva ubicación en el espacio bidimensional.
Trasladar un objeto una distancia tx en x y una distancia ty en y se expresa como:
[pic]
[pic]
[pic]
4.3 CAMBIOS DE ESCALA
¿Cómo se aplica todo esto a las figuras? Bueno, consideremos un punto P1=[x1,y1] como una matriz 1x2 . Si lamultiplicamos por una matriz 2x2 T, obtendremos otra matriz 1x 2 que puede ser interpretada como otro punto.
x2 y2 P2 P1T
Por tanto, la matriz T es una aplicación entre el punto original P1 y el nuevo punto P2. Si suponemos nuestra imagen compuesta por los vértices de un polígono. ¿Qué pasará si transformamos cadauno de los punto mediante una multiplicación por una matriz T y dibujamos el resultado? ¿Qué aspecto tendrá esta nueva imagen? La respuesta, por supuesto, depende de los elementos de la matriz T. Si, por ejemplo, escogemos la matriz identidad entonces la imagen no se verá alterada.
Sin embargo, si escogemos la matriz
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