TRANSFORMACIONES

Transformaci´
on de funciones
Una transformaci´on es una operaci´on que se realiza sobre la expresi´on algebraica de una funci´on,
para dar origen a una nueva funci´on. El significado preciso de cada transformaci´on se puede apreciar
mejor al observar los cambios geom´etricos que se producen sobre la gr´afica de la funci´on original.

Dilataci´
on y contracci´
on vertical
Dilataci´
onvertical. Esta operaci´on se puede describir de la siguiente manera: tomamos una
funci´on arbitraria f (x) y una constante positiva k, con la condici´on de que k > 1, entonces:
g(x) = kf (x)
Ejemplo: Sea f (x) = 4 − x2 una funci´on y k = 2 una constante. Obtenga una funci´on g(x)
tal que g(x) = kf (x)
g(x) = 2(4 − x2 )
Observemos el efecto geom´etrico de la transformaci´on sigui´endole lapista a un punto arbitrario, por ejemplo el punto Q.

Como puede observar en la figura, el punto Q(0, 4) en la gr´afica de f (x) se ha transformado
en el punto Q (0, 8) en la gr´afica de g(x), entonces multiplicar la constante 2 a la funci´on
f (x) tiene el efecto de duplicar el valor en la coordenada de y de todos los puntos de su
gr´afica, produciendo una dilataci´on
1

Contracci´
onvertical. Si la constante k es una fracci´on propia, es decir 0 < k < 1, el efecto
geom´etrico de la transformaci´on es producir una reducci´on en el tama˜
no de la coordenada y
de cada punto de la gr´afica de f (x), en un factor k, lo que da origen a una contracci´on.
Ejemplo: Sea f (x) = 4 − x2 una funci´on y k = 1/2 una constante. Obtenga una funci´on f (x)
tal que g(x) = kf (x)
1
g(x) = (4− x2 )
2

Dilataci´
on y contracci´
on Horizontal
Contracci´
on horizontal. La operaci´on se describe de la siguiente manera: tomemos una funci´on
arbitraria f (x) y una constante positiva c > 1, ahora hagamos el siguiente cambio, sustituyamos la variable x, en todos los lugares donde esta aparezca, por la nueva variable (cx).
Simb´olicamente expresada de la siguiente manera.
x −→ cxEjemplo: Sea f (x) = 4 − x2 una funci´on y c = 2 una constante. Obtener una funci´on g(x)
tal que g(x) = f (2x)
x −→ 2x
g(x) = 4 − (2x)2
g(x) = 4 − 4x2
Ahora veamos cual es el efecto geom´etrico de la transformaci´on. Nuevamente centremos
nuestra atenci´on en un punto de f (x) para observar su comportamiento.
2

Como puede observar en la figura, el punto Q(1, 3) en la gr´afica de f (x) se hadesplazado al
punto Q (1/2, 3) en la gr´afica de g(x), entonces la transformaci´on tiene el efecto de contraer
el valor en la coordenada de x de todos los puntos de la gr´afica a la mitad de su valor original.
El factor de contracci´on se puede expresar de la siguiente manera
fc =

1
c

fc =

1
2

en nuestro ejemplo

Y significa que la gr´afica de f (x) se ha contra´ıdo a la mitadDilataci´
on horizontal. Si la constante c es una fracci´on propia, es decir 0 < c < 1, el efecto geom´etrico de la transformaci´on es una dilataci´on en la gr´afica de f (x), y el factor de
dilataci´on ser´a en este caso
fd =

1
c

Ejemplo: Sea f (x) = 4 − x2 una funci´on y c = 1/2 una constante. Obtener una funci´on g(x)
tal que g(x) = f ((1/2)x)
fd =

1
=2
1/2

g(x) = 4 −(1/2x)2
1
g(x) = 4 − x2
4
3

El factor de dilataci´on nos indica que cada punto de f (x) ha duplicado el valor de la coordenada x, manteniendo el mismo valor en la coordenada y, observe los puntos Q y Q . Otra
forma de visualizar la dilataci´on es centrar la atenci´on en las intercepciones con el eje x.
Originalmente estas se localizaban con las ra´ıces x = −2 y x = 2, bajo la transformaci´onse
han desplazado a los nuevos valores x = −4 y x = 4, que representan el doble de sus valores
originales.

Reflecciones respecto los ejes coordenados.
Nuestra idea intuitiva de reflexi´on es la de reproducir formas y figuras de un plano a otro, como
en el caso de un espejo. En geometr´ıa anal´ıtica, es reconstruir los objetos geom´etricos a trav´es de
los ejes coordenados del plano...