Transformada de Wavelet

CAPITULO 2
TRANSFORMADA WAVELET
La transformada Wavelet es una herramienta matemática que promete no solo tener múltiples
aplicaciones en el procesamiento de señales sino que además está siendo usada en Control de
Procesos y detección de anomalías sintomáticas en medicina e ingeniería. Por lo que a nuestro
caso se refiere la usaremos como elemento discriminador para diferenciar lasvibraciones
anormales de las normales. En este Capítulo se detallarán los conocimientos necesarios para
entender esta aplicación y sus posibles consecuencias en el mantenimiento predictivo.

2.1

Reseña Histórica

En los principios del siglo XX con el descubrimiento de la Física Cuántica, y posteriormente
con la mecánica ondulatoria aplicada en la Física atómica, se comenzó a gestar la idea de quela materia estaba formada por pequeñísimos entes en oscilación permanente y que se
manifestaban en forma macroscópica como la materia que conocemos. A esta idea se le dio
forma y se le denominó la teoría del Oscilador Armónico Cuántico [ALF86], [RER79].
Esta nueva teoría abrió el paso para la aplicación de algunos conceptos matemáticos
que si bien no eran nuevos, ahora si llamarían laatención, y uno de ellos fue el de las formas
de ondas atómicas usadas por el Físico Dennis Gabor en 1946 quien además de una manera
premonitoria visualizó la importancia que podrían éstas tener en el procesamiento de señales.
Gabor utilizó una transformada de Fourier Sf ventaneada usando la estructura dada por
Haar en 1910 correlacionando una señal s (t ) con cada átomo de la siguientemanera[MAS99].
+∞

Sf (u, ξ ) = ∫ s(t ) g (t − u )e −iξ .t dt
−∞

(2.1)

donde g(t) es una función conocida como “función atómica de Gabor”, u es el corrimiento en
el tiempo y ξ especifica la traslación en frecuencia de la Transformada de Fourier de g (t ) , esto
es:

Guξ ( w) = G ( w − ξ )e −iu ( w−ξ )

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Más de treinta años después de Gabor y setenta añosde Haar en los 80’s Morlet y
Grossman reactivaron la colaboración fundamental entre las teorías de la física atómica y el
procesamiento de señales y formalizaron lo que hoy se conoce como la transformada continua
de onduleta (continuous wavelet transform, CWT), esto fue el catalizador de un rápido
crecimiento

y dedicación hacia la aplicación de esta transformada desarrollándoseposteriormente la transformada discreta de onduletas, (discret wavelet transform, DWT), con
gran utilidad en casi todos los ámbitos de la tecnología actual como es en el caso del análisis de
vibraciones [MAS99].
En 1984 el ingeniero Jean Morlet ayudado por el Físico cuántico Alex Grossman
utilizan por primera vez el término “wavelet” para definir las funciones que son usadas para
muestrear la señalque se desea analizar y proponen la ecuación siguiente:
+∞

S (τ , a ) = ∫ s (t )
−∞

1
⎛ t −τ ⎞
ψ *⎜
⎟ ⋅ dt
a
⎝ a ⎠

( 2.2)

donde ψ * es el conjugado de la wavelet madre que será escalada y corrida punto a punto para
determinar los niveles de comparación con la señal s (t ) . El valor de a =

f
da la escala o
f0

dilatación de la wavelet, con f0 como frecuencia central y τel corrimiento o la traslación
en el tiempo [MAS99], [ICP02], [ALA03].

2.2

Transformada Wavelet Continua

Dada una función g (t ) considérese la dilatación o escalamiento de “g” por “a” :
g a (t ) = g (t / a)
y la traslación de “g” por “b”
g b (t ) = g (t − b)

CAPÍTULO 2: TRANSFORMADA WAVELET

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aplicando simultáneamente escalamiento y traslación :
⎛ (t − b) ⎞
b
g a (t ) = g⎜
⎟
⎝ a ⎠

si la función g(t) cumple con las propiedades básicas. [PEW02]
+∞

∫ g (t )dt = 0

−∞

+∞

∫g

2

(t )dt = 1

−∞

se puede considerar
y

g (t ) = ψ (t ) donde ψ (t ) será la wavelet madre

b
ψ a (t ) =

1 ⎛t −b⎞
ψ⎜
⎟
a ⎝ a ⎠

( 2.3)

es la función con escalamiento y corrimiento simultaneos aplicada en la ecuación 2.2 definida
por Morlet-Grossman...