transformada Z

Transformada Z
Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo |z| > R
; es decir que converge “hacia afuera”.

En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal real o compleja definida
en el dominio del tiempo discreto en una representación
en el dominio de la frecuencia compleja.

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función
de generaciónde probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el
instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s),
ya que s = z−1 . Las propiedades de las transformadas Z
son útiles en la teoría de la probabilidad.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del
dominio, al igual que se podría llamar “Transformada S”
a la Transformada deLaplace. Un nombre más adecuado
para la TZ podría haber sido “Transformada de Laurent”,
ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las
señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las
señales de tiempo continuo.

1

2 Transformada Z inversa

Definición

La Transformada Z inversa se define

La transformada Z, al igual que otras transformaciones
integrales, puede ser definidacomo una transformada x[n] = Z −1 {(X(z)} = 1
2πj
unilateral o bilateral.

1.1

X(z)z n−1 dz
C

donde C es un círculo cerrado que envuelve el origen y
la región de convergencia (ROC). El contorno, C , debe
contener todos los polos de X(z) .

Transformada Z bilateral

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del
Un caso especial y simple de esta integral circular es quetiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define
cuando C es el círculo unidad (que también puede usarse
cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la
∞
transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:
∑
X(z) = Z{x[n]} =
x[n]z −n
n=−∞

1
donde n es un entero y z es, en general, un número comx[n] =
plejo de la forma
2π

∫

+π

X(ejω )ejωn dω
−π

La TZ con unrango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma
eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada
donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ,
en radianes por segundo (rad/s).
y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo
unidad.
z = Aejω

1.2

TransformadaZ unilateral

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral
se define como

3 Región de convergencia (ROC)

La región de convergencia, también conocida como
ROC, define la región donde la transformada-z existe. La
∞
∑
ROC es una región del plano complejo donde la TZ de
X + (z) = Z + {x[n]} =
x[n]z −n
una señal tiene unasuma finita. La ROC para una x[n] es
n=0
definida como el rango de z para la cual la transformada-z
En el procesamiento de señales, se usa esta definición converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencuando la señal es causal. En este caso, la Transformada cia, converge cuando x[n]z −n es absolutamente sumable.
1

2

3 REGIÓN DE CONVERGENCIA (ROC)

∞
∑

ROC = {z :

I
x[n]z−n < ∞}

n=−∞

1

Propiedades de la Región de Convergencia:
La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, x[n].
0.5

1

R

• La ROC no tiene que contener algún polo.Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z]
tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
• Si x[n]es una secuencia de duración finita, entonces
la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞.

• Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC muestra en azul, el circulo es un punto gris y el círculo |z| =
ROC se extiende hacia fuera en el último polo desde 0.5 muestra del círculo.
x[z].
• Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces
la ROC se extiende hacia...