transparencias preliminares

Ecuaciones Diferenciales y de
Diferencia
Oscar Duarte
Facultad de Ingenier´ıa
Universidad Nacional de Colombia

– p.1/79

Ecuaciones Diferenciales
Igualdades que incluyen derivadas
dx
= 2x(t)
dt

– p.2/79

Ecuaciones Diferenciales
Igualdades que incluyen derivadas
dx
= 2x(t)
dt
La solución de una Ecuación Diferencial es
una función f (t) t ∈ R

– p.2/79

Ecuaciones Diferenciales
Igualdades queincluyen derivadas
dx
= 2x(t)
dt
La solución de una Ecuación Diferencial es
una función f (t) t ∈ R
f1(t) = e

2t

f2(t) = 2e

2t

f3(t) = 3e

2t

– p.2/79

Ecuaciones Diferenciales
Igualdades que incluyen derivadas
dx
= 2x(t)
dt
La solución de una Ecuación Diferencial es
una función f (t) t ∈ R
f1(t) = e

2t

f2(t) = 2e

2t

f3(t) = 3e

Condiciones Auxiliares
...
f (0), f˙(0), f¨(0), f (0), · ·· , f (n)(0)

2t

– p.2/79

Tiempo Discreto
La variable que mide el tiempo (k) varía
discretamente .
•

k = 1, 2, 3, · · ·

– p.3/79

Tiempo Discreto
La variable que mide el tiempo (k) varía
discretamente .
•

k = 1, 2, 3, · · ·

•

k = T, 2T, 3T, · · · T ∈ R

– p.3/79

Tiempo Discreto
La variable que mide el tiempo (k) varía
discretamente .
•

k = 1, 2, 3, · · ·

•

k = T, 2T, 3T, · · · T ∈R

•

k = k 1 , k2 , k3 , · · ·

– p.3/79

Tiempo Discreto
La variable que mide el tiempo (k) varía
discretamente .
•

k = 1, 2, 3, · · ·

•

k = T, 2T, 3T, · · · T ∈ R

•

k = k 1 , k2 , k3 , · · ·
x(k)

x(k + 1)

x(k − 1)
– p.3/79

Ecuaciones de Diferencias
Igualdades que incluyen diferencias
x(k + 1) = 2x(k)

– p.4/79

Ecuaciones de Diferencias
Igualdades que incluyen diferencias
x(k + 1) =2x(k)
La solución de una Ecuación Diferencial es
una función f (k) k ∈ Z

– p.4/79

Ecuaciones de Diferencias
Igualdades que incluyen diferencias
x(k + 1) = 2x(k)
La solución de una Ecuación Diferencial es
una función f (k) k ∈ Z
f1(k) = 2k

f2 (k) = 2(2k )

f3(k) = 3(2k )

– p.4/79

Ecuaciones de Diferencias
Igualdades que incluyen diferencias
x(k + 1) = 2x(k)
La solución de una EcuaciónDiferencial es
una función f (k) k ∈ Z
f1(k) = 2k

f2 (k) = 2(2k )

f3(k) = 3(2k )

Condiciones Auxiliares
f (0), f (1), f (2), f (3), · · · , f (n)

– p.4/79

Comparación
Ecuaciones

Dife- Ecuaciones de Dife-

renciales

rencia

derivadas

diferencias finitas.

t∈R

k ∈ Z.

f (t) t ∈ R

f (k) k ∈ Z

C.I.

C.I.

y(0), y(0),
˙
y¨(0), · · ·

y(0), y(1), y(2), · · ·
– p.5/79

ED Lineales. Coeficientesconstantes
dy n
an dtn

+ · · · + a1 dy
+
a
y(t)
=
0
dt

dum
bm dtm

+ ···+

du
b1 dt

+ b0 u(t)

– p.6/79

ED Lineales. Coeficientes constantes
dy n
an dtn

+ · · · + a1 dy
+
a
y(t)
=
0
dt

dum
bm dtm

+ ···+

du
b1 dt

+ b0 u(t)

an y(k + n) + · · · + a1 y(k + 1) + a0 y(k) =
bmu(k + m) + · · · + b1u(k + 1) + b0u(k)

– p.6/79

Métodos de solución de E.D. Lineales
La solución de una E.D. linealtiene dos
componentes:
ycompleta (t) = yhomog´enea (t) + yparticular (t)
y(t) = yh (t) + yp(t)

– p.7/79

Métodos de solución de E.D. Lineales
La solución de una E.D. lineal tiene dos
componentes:
ycompleta (t) = yhomog´enea (t) + yparticular (t)
y(t) = yh (t) + yp(t)
En el caso discreto
ycompleta(k) = yhomog´enea (k) + yparticular (k)
y(k) = yh (k) + yp(k)
– p.7/79

Un Procedimiento “tortuoso”
1.Obtener la solución homogénea;
aparecen coeficientes desconocidos

– p.8/79

Un Procedimiento “tortuoso”
1. Obtener la solución homogénea;
aparecen coeficientes desconocidos
2. Obtener una solución particular yp(·).

– p.8/79

Un Procedimiento “tortuoso”
1. Obtener la solución homogénea;
aparecen coeficientes desconocidos
2. Obtener una solución particular yp(·).
3. Construir la respuestacompleta
y(·) = yh (·) + yp(·), remplazar las
condiciones iniciales, y obtener los
coeficientes desconocidos
– p.8/79

La solución de la homogénea
La ecuación homogénea está igualada a 0

– p.9/79

La solución de la homogénea
La ecuación homogénea está igualada a 0
1. Se escribe el polinomio característico de
la ecuación anλn + · · · + a1λ + a0 = 0

– p.9/79

La solución de la homogénea
La ecuación...