Tresistencia De Materiales

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Algebra Lineal | 03.2012 | Carlos de Oro Aguado

Definici´n. Matriz o
Sean m, n ∈ N. Una matriz A de orden m × n es una expresi´n de la o forma   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A= . . .  .. . .   . . . . . am1 am2 · · · amn donde m es el n´mero de filas y n es el n´mero de columnas. u u

Adem´s, A = (aij ), para i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n. a

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Nota:
Dada una matriz A = (aij )m×n , la i-´sima fila ser´ Ai , para i = 1, 2, · · · , m. Es e a decir, Ai = ai1 ai2 · · · ain . Para j = 1, 2, · · · , n, la j-´sima columna se notar´ e a   a1j  a2j    (j) A =  . .  .  . amj

El conjunto de todas las matrices con entradas en R, se denota por Mm×n (R) o Rm×n . Adem´s, Rn ∼ R1×n y Rm ∼Rm×1 . a = = Si m = n; la matriz se denomina Matriz cuadrada La Matriz diagonal principal de A = (aij )m×n est´ formada por los elementos aii . a Una matriz A = (aij )n×n se denomina triangular superior si aij = 0 siempre que i > j.A es triangular inferior si aij = 0 siempre que i < j. Una matriz triangular

superior e inferior (es decir aij = 0, si i = j) se denomina diagonal .

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Ejemplos
1

2

3

4

√ 2 1/2 3 A= ; A No es cuadrada. 4 5 7 2×3   1 0 1 B = 3 4 7 ; B es cuadrada. 1 2 0 3×3   1 2 −9 C = 0 2 1  ; C es una matriz triangular superior. 0 0 1 3×3   2 0 0 0 √   3 2 0 0   D=  ; D es una matriz triangular inferior.  1 −1/2 1 0   0 −3 4 1
4×4
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Definici´n. Transpuesta de una matriz o
Dada una matriz A = (aij )m×n , la transpuesta de A, es una matriz de n × m que se obtiene al cambiar las filas por columnas en la matriz A; y se denota por AT . Adem´s, a A = (aij )m×n AT = (aji )n×m

Ejemplos
  2 3 ⇒ AT = 4 7 . 2×3 5 1 3×2    2 2 4 5 7  T = 4 B= 1 2 4 0  ⇒B 5 −1 2 0 −3 3×4 7 2 4 5 A= 3 7 1

 1 −1 2 2  .4 0 0 −3 4×3

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Definici´n. o
Una matriz cuadrada se denomina sim´trica si AT = A; y antisim´trica si e e AT = −A.

Ejemplo
Pruebe que A = 1 3 0 2 es sim´trica y B = e es antisim´trica. e 3 2 −2 0

Definici´n o
Sean A = (aij )m×n y B = (bij )m×n matrices con componentes reales y sea α ∈ R. Entonces
1

La suma de A y B es lamatriz

A + B = (aij + bij )m×n .

2

El producto de α por A es la matriz αA = (αaij )m×n .

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Ejemplo
  3 1 2 3 1 4 Sean A = ,B = , C = 1 2 y α = 3. 4 3 1/2 3 2 4 Hallar: 3 7 2+1 3+4 1 4 2 3 . = = + 9/2 6 4 + 1/2 3 + 3 1/2 3 4 3

1

A+B =

2

A + C no est´ definido. a αB = 3 3 12 (3)(1) (3)(4) 1 4 . = = 3/2 9 (3)(1/2)(3)(3) 1/2 3

3

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Teorema. Propiedades de espacio vectorial Rm×n
Sean A, B, C ∈ Rm×n y α, β ∈ R.Entonces se satisfacen:
1 2 3

Cerradura: (A + B) ∈ Rm×n y αA ∈ Rm×n . Conmutatividad: A + B = B + A. Asociatividad:

A + (B + C) = (A + B) + C, α(βA) = (αβ)A.

4

Existencia de neutros:
1

Si Omn = (0ij )m×n es la matrizdefinida por 0ij = 0, para todo i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n, entonces A + Omn = Omn + A = A. 1A = A.

2 5

Existencia de inversos aditivos: A + ((−1)A) = (−1)A + A = Omn

6

Leyes distributivas: α(A + B) = αA + αB, (α + β)A = αA + βB.

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Demostraci´n o

Cerradura: Sean A, B ∈ Rm×n y α ∈ R, es decir, A = (aij ), B = (bij )donde aij , bij ∈ R; para todo i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n.

Entonces A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) para todo i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n, es decir, (A + B) ∈ R2 . Ahora bien, αA = α(aij ) = (αaij ) para todo i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n, es decir, αA ∈ R2 . En consecuencia, (A + B) ∈ R2
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