triangulos
Páginas: 23 (5702 palabras)
Publicado: 3 de febrero de 2014
Triángulos semejantes
Dados los triángulos ABC y A'B'C' determinamos los lados y ángulos homólogos.
Lados homólogos:
a y a', b y b', c y c'
Ángulos homólogos:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de losperímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.
Criterios de semejanza
1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
3 Dos triángulos son semejantes si tienen doslados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
Semejanza de triángulos rectángulos
1Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
2Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
3Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.
Ejemplosprácticos
1. Determinar la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
2.Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
Tema 1 Triángulos semejantes
Ambrosio va a pintar unmuro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla.
¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar?
Ambrosio puede más o menos calcular la altura del muro parándose junto a él y marcar su altura con un gis, luego alejarse y calcular cuántas veces cabe su altura enel muro. Pero este procedimiento no es muy preciso, pues está suponiendo cuántas veces cabe su altura en el muro para luego multiplicarla.
Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio:
La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las 11 a.m. mide 16 m.
La sombrade Ambrosio, también a las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que mide 1.75 m. Con esta información él podrá calcular la altura del muro, ya que si usted observa los dos dibujos, en cada uno de ellos hay un triángulo rectángulo semejante.
Lo anterior se aprecia mejor si se dibuja de la siguiente manera:
De la misma manera se puede analizar a Ambrosio y su sombra.
Observe que los triángulosABC y DEF son semejantes porque sus tres lados son proporcionales. Esto quiere decir que la relación que existe entre el alto del muro y su sombra () es la misma que existe entre la altura de Ambrosio y la longitud de su sombra (). Esto es porque los dos triángulos (ABC y DEF) tienen el mismo ángulo(se lee alfa).
La sombra del muro
La sombra de Ambrosio
Utilizando el álgebra se puededecir que:
Por lo anterior se tiene que:
También se podría haber dicho que:
La altura del muro AB es proporcional a la altura de Ambrosio DE.
Y que la sombra del muro BC es proporcional a la sombra de Ambrosio EF, desde luego, ambas medidas a las 11 a.m.
Ahora Ambrosio tiene una ecuación en la que conoce tres variables y tiene una incógnita.
Con lo anterior puede plantear unaecuación como la siguiente:
(x= altura desconocida del muro)
Despeja la incógnita "x", por lo que multiplica a los dos miembros de la ecuación por BC:
Sustituyendo se tiene:
Con esto Ambrosio sabe que el muro tiene una altura de 9.33 m, lo que multiplicado por los 25 m que tiene de base obtendrá su área.
9.33 m x 25 m = 233.25 m2
Recuerde usted que cuando tiene figuras que...
Dados los triángulos ABC y A'B'C' determinamos los lados y ángulos homólogos.
Lados homólogos:
a y a', b y b', c y c'
Ángulos homólogos:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de losperímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.
Criterios de semejanza
1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
3 Dos triángulos son semejantes si tienen doslados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
Semejanza de triángulos rectángulos
1Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
2Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
3Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.
Ejemplosprácticos
1. Determinar la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
2.Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
Tema 1 Triángulos semejantes
Ambrosio va a pintar unmuro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla.
¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar?
Ambrosio puede más o menos calcular la altura del muro parándose junto a él y marcar su altura con un gis, luego alejarse y calcular cuántas veces cabe su altura enel muro. Pero este procedimiento no es muy preciso, pues está suponiendo cuántas veces cabe su altura en el muro para luego multiplicarla.
Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio:
La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las 11 a.m. mide 16 m.
La sombrade Ambrosio, también a las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que mide 1.75 m. Con esta información él podrá calcular la altura del muro, ya que si usted observa los dos dibujos, en cada uno de ellos hay un triángulo rectángulo semejante.
Lo anterior se aprecia mejor si se dibuja de la siguiente manera:
De la misma manera se puede analizar a Ambrosio y su sombra.
Observe que los triángulosABC y DEF son semejantes porque sus tres lados son proporcionales. Esto quiere decir que la relación que existe entre el alto del muro y su sombra () es la misma que existe entre la altura de Ambrosio y la longitud de su sombra (). Esto es porque los dos triángulos (ABC y DEF) tienen el mismo ángulo(se lee alfa).
La sombra del muro
La sombra de Ambrosio
Utilizando el álgebra se puededecir que:
Por lo anterior se tiene que:
También se podría haber dicho que:
La altura del muro AB es proporcional a la altura de Ambrosio DE.
Y que la sombra del muro BC es proporcional a la sombra de Ambrosio EF, desde luego, ambas medidas a las 11 a.m.
Ahora Ambrosio tiene una ecuación en la que conoce tres variables y tiene una incógnita.
Con lo anterior puede plantear unaecuación como la siguiente:
(x= altura desconocida del muro)
Despeja la incógnita "x", por lo que multiplica a los dos miembros de la ecuación por BC:
Sustituyendo se tiene:
Con esto Ambrosio sabe que el muro tiene una altura de 9.33 m, lo que multiplicado por los 25 m que tiene de base obtendrá su área.
9.33 m x 25 m = 233.25 m2
Recuerde usted que cuando tiene figuras que...
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