Tricotomia

TRICOTOMIA
En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para laMatemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a , entonces se puede decir si la afirmación es verdadera o no. De forma precisa se puededecir que para cada y en se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones
 ;  ;
Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.

Nótese que una consecuencia inmediata de estaley, es que si , entonces es distinto de . Dicho de otra forma, no existe ningún número real tal que .
TRANSITIVIDAD

Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple:siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si:a R b y b R c se cumple a R c.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.

EJEMPLOS

Así por ejemplo dado el conjunto N de losnúmeros naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos que es transitiva:

Así, puesto que:

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual)son transitivas.
Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:

Si para todo valor a, b, c numero natural: a divide a b y b divide a c entonces a divide a c
Dadoque 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).
Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" noes transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces
Se cumple y pero no se cumple puesto que X es subconjunto de Z.
Otro ejemplo de relación binaria que no es...