TRIGONOMETR A EJERCICIOS RESUELTOS

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS - TRIGONOMETRIA
1. Sabiendo que cos a = −

3
a
siendo 90º < a < 180º ; calcula cos(180º − ).
5
2

a
90º a 180º
a
< <
→ 45º < < 90º , es decir que el ángulo está
2
2
2
2
2
situado en el primer cuadrante y sus razones son positivas. Entonces:
Si 90º < a < 180º →

⎛ 3⎞
3
2
1+ ⎜ − ⎟
1−
a
a
1 + cos a
⎝ 5⎠ = −
5 =− 5 =− 1 =− 5
=−
cos(180º − ) =− cos = −
2
2
2
2
2
2
5
5
2. Sabiendo que cos a = −

a
3
siendo 90º < a < 180º ; calcula sen(180º − ).
2
5

a
90º a 180º
a
< <
→ 45º < < 90º , es decir que el ángulo está
2
2
2
2
2
situado en el primer cuadrante y sus razones son positivas. Entonces:

Si 90º < a < 180º →

⎛ 3⎞
3
1− ⎜ − ⎟
1+
a
a
1 − cos a
5
⎝
⎠=
5 =
=
sen(180º − ) = sen =
2
2
2
2
2
3. Sabiendo que sen a =

8
5 = 4=2 5
2
5
5

3
siendo0 < a < 90º ; calcula cos(180º −2a )
5

Teniendo en cuenta que los cosenos de ángulos suplementarios son opuestos, obtenemos:

cos(180º −2a) = − cos 2a = −(cos 2 a − sen 2 a) = sen 2 a − cos 2 a = sen 2 a − (1 − sen 2 a ) =
2

9
18
7
⎛3⎞
= 2sen 2 a − 1 = 2 ⋅ ⎜ ⎟ − 1 = 2 ⋅ − 1 =
−1 = −
25
25
25
⎝5⎠
4. Sabiendo que tg a =

a
3
3π
siendo π < a < , calcula cos .
2
4
2

3π
π a 3π
→
< <
→
2
2 2 4
seránegativo. Entonces:
Si π < a <

a
está situado en el segundo cuadrante y su coseno
2

⎛ 1 + cos α ⎞
α
α
1 + cos α
cos(180º − ) = − cos = − ⎜⎜ −
⎟⎟ =
2
2
2
2
⎝
⎠
3
3π
y π < a < , , entonces:
Como se conoce que la tg α =
4
2

1

TRIGONOMETRÍA

1 + tg 2 α =

EJERCICIOS RESUELTOS

1
cos 2 α

→ cos 2 α =

1
=
1 + tg 2 α

1
⎛3⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝4⎠

2

1

=

1+

9
16

=

1
16
=
→
9 + 16 25
16

16
4
=−
25
5

→cos α = −

Por tanto:
4
1−
⎛ 1 + cos α ⎞
1 + cos α
α
α
5 =
cos(180º − ) = − cos = − ⎜⎜ −
=
⎟⎟ =
2
2
2
2
2
⎝
⎠

1
1
=
=
2⋅5
10

1
10
=
10 10

=

5. Sabiendo que tg a = −

5−4
5 =
2

4
a
siendo 90º < a < 180º ; calcula sen(180º − ).
3
2

a
está situado en el primer cuadrante y su seno
2

Si 90º < a < 180º → 45º < a < 90º →
será positivo. Entonces:

α
α
1 + cos α
sen(180º − ) = sen =
2
2
2

Como seconoce que la tg α = −
1 + tg 2 α =

1
cos 2 α

4
y 90º < α < 180 , entonces:
3

→ cos 2 α =

1
=
1 + tg 2 α

1
⎛ 4⎞
1+ ⎜ − ⎟
⎝ 3⎠

→ cos α = −

2

=

1
1
9
=
=
→
16 9 + 16 25
1+
9
9

9
3
=−
25
5

Por tanto:
⎛ 3⎞
1− ⎜ − ⎟
α
α
1 − cos α
⎝ 5⎠ =
=−
sen(180º − ) = sen =
2
2
2
2
=

2
2 5
=
5
5

2

5+3
5 = 8 = 4=
2
2⋅5
5

TRIGONOMETRÍA

•
6.

EJERCICIOS RESUELTOS

Demostrar las siguientes identidadestrigonométricas:

sec a − cos a
= tg 3 a
cosec a − sen a
1
1 − cos 2 a sen 2 a
− cos a
sec a − cos a
sen 2 a ⋅ sen a sen 3 a
cos
cos
cos
a
a
a
=
=
=
=
=
= tg 3 a
2
2
2
3
1
cosec a − sen a
1 − sen a cos a cos a ⋅ cos a cos a
− sen a
sen a
sen a
sen a

7.

tg 2a + cos a ⋅ cosec a = ctg a ⋅ sec 2a
tg 2a + cos a ⋅ cosec a =

=

8.

sen 2a
1
sen 2a cos a sen 2a ⋅ sen a + cos 2a ⋅ cos a
+ cos a ⋅
=
+
=
=cos 2a
sen a cos 2a sen a
cos 2a ⋅ sen a

cos(2a − a )
cos a
cos a
1
=
=
⋅
= ctg a ⋅ sec 2a
cos 2a ⋅ sen a cos 2a ⋅ sen a sen a cos 2a

sen(90 − a) ⋅ tg(90 − a) ⋅ cos(180 + a ) ⋅ tg(180 + a) = − cos 2 a
sen(90 − a) ⋅ tg(90 − a) ⋅ cos(180 + a) ⋅ tg(180 + a) = cos a ⋅ ctg a ⋅ (− cos a ) ⋅ tg a = − cos 2 a
teniendo en cuenta que:
sen(90 − a) = cos a
tg(90 − a) = ctg a
cos(180 + a) = − cos a

tg(180 +a) = tg a

9.

ctg a ⋅ tg a = 1

tg a + tg b
= tg a ⋅ tg b
ctg a + ctg b
tg a + tg b
tg a + tg b tg a + tg b (tg a + tg b).tg a.tg b
=
=
=
= tg a ⋅ tg b
1
1
tg a + tg b
ctg a + ctg b
tg
a
+
tg
b
+
tg a tg b
tg a ⋅ tg b

10. cos(a + b ) ⋅ cos(a − b) = cos 2 a − sen 2 b

Transformando el producto de cosenos en suma de cosenos, nos queda:
1
cos(a + b).cos(a − b) = ⋅ (cos((a + b) + (a − b)) + cos((a +b) − (a − b)) =
2
1
1
= ⋅ (cos 2a + cos 2b) = ⎡⎣(cos2 a − sen 2 a ) + (cos 2 b − sen 2 b) ⎤⎦ =
2
2

3

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS RESUELTOS

=

1
⎡(cos 2 a − (1 − cos 2 a) + (1 − sen 2 b − sen 2 b) ⎤⎦ =
2⎣

1
1
= (2 cos 2 a − 2sen 2 b) = ⋅ 2(cos 2 a − sen 2 b) = cos 2 a − sen 2 b
2
2
11. sen(a + b ) ⋅ sen(a − b ) = sen 2 a − sen 2 b

De la misma forma anterior:
1
sen(a + b).sen(a − b) = − ⋅...