trigononmetria

TRIGONOMETRÍA DEL CUADRADO Y COORDENADAS POLARES: “Estudio de la trigonometría definida desde un cuadrado y gráficas polares a partir de esta”

Camilo A. Ramírez*. Ángela Salgado**.
Laura C. Garcia**. Laura Vargas**. Lina Zúñiga**.

* Docente Instituto Pedagógico Nacional.
Estudiante Matemática Aplicada. Universidad Nacional de Colombia.
Bogotá, Colombia.
(kamandramsan@gmail.com)
**Estudiantes Instituto Pedagógico Nacional. Bogotá, Colombia.
Resumen: Los estudiantes de grado once del Instituto Pedagógico Nacional presentan un estudio alternativo de la trigonometría al definir las funciones trigonométricas a partir de un cuadrado y no de un círculo unitario. En una primera parte se presentarán tablas y gráficas de las nuevas funciones y se verán algunas similitudes, ventajasy desventajas del trabajo con respecto a la trigonometría clásica. Una segunda parte presentará el manejo de gráficas en coordenadas polares basándose en la trigonometría del cuadrado contribuyendo a enriquecer su estudio en la enseñanza secundaria.
Palabras Clave: Trigonometría, Cuadrado, Funciones, Gráficas, Polares, Enseñanza

INTRODUCCIÓN
“La trigonometría es una de las ramas másversátiles de las matemáticas. Desde su invención en el viejo mundo ha sido importante tanto en aplicaciones teóricas cómo practicas...” [1]. Usualmente en las aulas de clase se presenta la trigonometría basada en un circulo unitario y con éste se definen las funciones trigonométricas que son distintas a las polinómicas o racionales y tienen características especiales (periodo, máximos y mínimos infinitos,etc.). Este trabajo mostrará que el círculo no es el único sistema que se puede utilizar para desarrollar una trigonometría y se basará en un cuadrado de lados una unidad definiendo diferentes funciones mediante las relaciones existentes entre sus lados (análogo a como se definen las funciones en el círculo) se estudiarán algunos puntos notables para poder describir las gráficas de las nuevasfunciones descubriendo características y similitudes con las funciones trigonométricas clásicas. Así, se abre un extenso camino por explorar, se pueden estudiar transformaciones de las nuevas funciones, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y aplicaciones de la nueva trigonometría, entre otros.
En una segunda parte se traslada la trigonometría del cuadrado al sistema de coordenadaspolares y se comienza a estudiar las nuevas gráficas que se producen y las similitudes que éstas tienen con las resultantes de la trigonometría clásica. Se deja un espacio abierto en la enseñanza de estos dos temas para que el interesado explore y construya sistemas trigonométricos cambiando la base de su definición.
Cabe resaltar que se utiliza el programa Regla y Compás para realizar lasconstrucciones de las gráficas de las funciones trigonométricas y polares en ambas trigonometrías, lo cual permite evidenciar propiedades de manera dinámica.

1. TRIGONOMETRIA DEL CUADRADO


En la nueva trigonometría se considera un cuadrado con centro en el origen cartesiano y lados paralelos a los ejes de 2 unidades cada uno. Un rayo se dibuja de manera análoga a la trigonometría circular y elpunto es la intersección de con los lados del cuadrado. El ángulo se define con el eje positivo de x como el rayo inicial, el origen O como vértice y como rayo final.
1.1 Puntos terminales
Para algunos ángulos notables se pueden hallar los puntos terminales viendo la gráfica del cuadrado unitario. Suponga que es un ángulo positivo que varía a razón de radianes, en la figura 2 se evidenciael punto determinado por cada ángulo, con lo cual se puede completar la tabla 1.

Fig 2. Cuadrado unitario en el cual se describen algunos ángulos notables y puntos terminales

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Tabla 1. Puntos terminales.
A continuación se mostrará como se halla algebraicamente el punto terminal de y .
Punto terminal de .

Fig. 3. Construcción para hallar el punto terminal
Se...