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Métodos No Paramétricos I Elena J. Martínez

125 2do cuat. 2004

Tests para igualdad de varianzas En los problemas de comparaciones de dos o más tratamientos que hemos tratado hemos supuesto que, si existe una diferencia entre tratamientos, ésta se traduce en un corrimiento. Obviamente hay otras alternativas posibles, como por ejemplo que la diferencia entre tratamientos se traduzca en uncambio en la varianza. El primer test que veremos trabaja con los rangos tal como los definimos en el problema de posición. Test de Mood para igualdad de varianzas: Sean X1,...,Xn e Y1,...,Ym muestras aleatorias de distribuciones F((x-µ)/σ) y F((x-µ)/τ) respectivamente, con µ común y conocida. Supongamos que la hipótesis nula de interés es Ho: σ = τ . Sea R(Yi) el rango de Yi en la muestra agrupadade tamaño N = n+m, y definamos

N + 1  M = ∑  R(Yi ) −  2  i =1 
m

2

Valores grandes de M indicarían que τ > σ y valores pequeños de M indicarían que τ < σ. Por lo tanto, se pueden construir tests para las diferentes alternativas basados en M. Tablas exactas de la distribución de M se hallan en Laubscher, Steffens y DeLange (1968). Si n y m sin suficientemente grandes se puede usarla aproximación normal, basada en

E (M ) = m

N 2 −1 12 ( N + 1)( N 2 − 4) 180

Var ( M ) = nm

Hipótesis a testear y región de rechazo: A. Ho: σ = τ vs H1: σ > τ

Rechazamos Ho si M < m B. Ho: σ = τ vs

N 2 −1 − zα Var ( M ) 12
H1: σ < τ

Rechazamos Ho si M > m C. Ho: σ = τ vs

N 2 −1 + zα Var ( M ) 12
H1: σ ≠ τ

Rechazamos Ho si M − m

N −1 > zα / 2 Var ( M ) 12
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Notar que se supone que los parámetros de posición de ambas muestras son conocidos e idénticos. Si no se puede suponer que son idénticos, debe realizarse previamente algún tipo de ajuste. Si los valores que se utilizan en ese ajuste son estimaciones alejadas de los verdaderos valores de los parámetros, es posible que el rechazo de Hono implique necesariamente que las varianzas son distintas. Eficiencia: La eficiencia el test de Mood fue estudiada por Hollander (1863). Respecto del test F y en el caso Normal es 0.76. Ejemplo: Se desea testear si el orden en que las preguntas son formuladas influye en los resultados en un examen multiple choice. 21 alumnos que tomaron un curso de Inferencia Estadística fueron divididos en dosgrupos aleatoriamente y se les tomó un examen que constaba de 20 preguntas. A 11 alumnos (Grupo 1) las preguntas se les presentaron en el orden en que se habían desarrollado los temas en clase y al resto (Grupo 2) en un orden aleatorio. Los resultados (número de respuestas correctas) se presentan en la siguiente tabla, juntamente con los rangos: Grupo 1 (X) 7 8 9 9 9 10 11 11 11 11 12 13 13 13 1415 15 17 19 20 21 17 18.5 18.5 13 15 15 15 8 10.5 10.5 10.5 10.5 6 6 6 Grupo 2 (Y) 3 6 Rango X 3 4 Rango Y 1 2

Supongamos que se puede suponer que ambas poblaciones tienen el mismo centro y que se desea testear Ho: σ = τ vs H1: σ ≠ τ E(M) = 366.67 y Var(M) = 5875.22. El valor del estadístico M = 359.75 y por lo tanto el pvalor aproximado será

  359.75 − 366.67  2 φ   = 0.93 76.65  
y no se rechaza Ho.

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Test de rangos al cuadrado (Conover): Sean X1,...,Xn e Y1,...,Ym muestras aleatorias de distribuciones F((x-µ1)/σ) y F((x-µ2)/τ) respectivamente. Supongamos que la hipótesis nula de interés es Ho: σ = τ Transformamos los datos a desviaciones absolutas respecto de su media, es decir, definimos

U i =X i − µ1 ,

i = 1,..., n

y

V j = Yj − µ2 ,

j = 1,..., m

Sean R(Ui) y R(Vj) los rangos de Ui y Vj respectivamente en la muestra agrupada de tamaño N=n+m . Si no hay empates, el estadístico del test será

T = ∑ [R(U i )]
i =1

n

2

que, bajo Ho, satisface

E (T ) = n

1 N

∑i
i =1

n

2

=

n N ( N + 1)(2 N + 1) n( N + 1)(2 N + 1) = N 6 6

Var (T ) =

(N...