Una Introducción Moderna. | Álgebra Lineal

Universidad Politécnica de Victoria.
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6.1 Espacios vectoriales y subespacios.
En los capítulos 1 y 3, vimos que el álgebra de matrices son semejantes en muchos aspectos. En particular, podemos sumar tanto vectores como matrices, y multiplicar ambos porescalares. Las propiedades que resultan de estas dos operaciones (teorema 1.1 y teorema 3.2) son idénticas en ambos entornos. En esta sección, emplearemos estas propiedades para definir los “vectores” generalizados que surgen en una amplia variación de ejemplos. Por lo tanto, cuando probemos teoremas generales acerca de estos “vectores”, al mismo tiempo demostraremos los resultados de todos estosejemplos. Este es el poder real del algebra: su capacidad de tomar propiedades de un entorno en particular, como Rn, y abstenerlas en un entorno general.
Definición sea V un conjunto en el cual dos operaciones, llamadas adición y multiplicación por escalares, han sido definidas. Si u y v se encuentran en V, la suma de u y v se denota por medio de u + v, y si c es un escalar, el múltiplo escalarde u por c se denota como cu. Si los siguientes axiomas son válidos para todos los escalares c y d, entonces V se denomina espacio vectorial y sus elementos son vectores.
1. u + v esta en V. Cerradura bajo la adicción
2. u + v = v + u Conmutatividad.
3. (u + v) + w = u + (v + w) Asociatividad.
4. Existe un elemento 0 enV, denominado vector cero o nulo, tal que u + 0 = u.
5. Para cada u en V, existe un elemento -u en V tal que u + ( -u) = 0.
6. cu está en V. Cerradura bajo la multiplicación por
escalares.
7. c(u + v) = cu + cv Distributividad.
8. (c+ d )u = cu + du Distributividad.9. c(du) = (cd)u
10. 1u = u

Definición sea V un conjunto en el cual dos operaciones, llamadas adición y multiplicación por escalares, han sido definidas. Si u y v se encuentran en V, la suma de u y v se denota por medio de u + v, y si c es un escalar, el múltiplo escalar de u por c se denota como cu. Si los siguientes axiomas son válidos para todos los escalares c y d, entonces V sedenomina espacio vectorial y sus elementos son vectores.
1. u + v esta en V. Cerradura bajo la adicción
2. u + v = v + u Conmutatividad.
3. (u + v) + w = u + (v + w) Asociatividad.
4. Existe un elemento 0 en V, denominado vector cero o nulo, tal que u + 0 = u.
5. Para cada u en V, existe un elemento -u en V tal que u + (-u) = 0.
6. cu está en V. Cerradura bajo la multiplicación por
escalares.
7. c(u + v) = cu + cv Distributividad.
8. (c+ d )u = cu + du Distributividad.
9. c(du) = (cd)u
10. 1u = u

5. Para cada u en V, existe un elemento -u en V tal que u + ( -u) = 0.
6. cu estáen V. Cerradura bajo la multiplicación por escalares.
7. c(u + v) = cu + cv Distributividad.
8. (c+ d )u = cu + du Distributividad.
9. c(du) = (cd)u
10. 1u = u

Observaciones
* Por lo regular cuando decimos “escalares” nos referimos a números reales. Por consiguiente, deberíamos referirnos a V como un espaciovectorial real (o a un espacio vectorial sobre los números reales). También es posible que los escalares sean números complejos o que pertenezcan a Zp3 donde p es primo. En estos casos, V se denomina espacio vectorial complejo o espacio vectorial sobre Zp3 respectivamente. La mayoría de nuestros ejemplos serán espacios vectoriales reales, de manera que en general omitiremos el adjetivo “real”. Si se...