UNI 2013

MATEMÁTICA

PARTE 1


Entonces
Ak=A, ∀k ∈ N

Pregunta N.o 1
Dadas las siguientes proposiciones:
I. Si A es una matriz cuadrada tal que A2=A,
entonces AK=A, ∀K ∈ N.
II. Si B es simétrica, entonces – B2 es antisimétrica.
III. C es matriz cuadrada tal que CK=0 para algún

II.






K

K ∈ N, entonces I + ∑ C i es inversible.
i =1



Cuáles de lassiguientes proposiciones son
verdaderas.




A) Solo I
B) Solo II
D) I y II

C) Solo III
E) I y III

Resolución
Tema: Matrices
Recordemos lo siguiente:
Sea M una matriz cuadrada
• MT=M  ↔  M es simétrica
• MT=– M  ↔  M es antisimétrica
• M es inversible  ↔  |M|≠0
Análisis y procedimiento
I. Verdadero

Por dato A2=A

Veamos:
A3=A2 · A=A · A=A2=AA4=A3 · A=A · A=A2=A


Ak=Ak – 1 · A=A · A=A2=A

Falso
Por dato B es simétrica →  BT=B
T
Para que – B2 sea antisimétrica (– B2) =B2
Calculemos



(− B 2 )

T

T

2

= − (B 2 ) = − (BT ) = − B 2
B

2 T

2

Luego como (– B ) =– B , entonces – B2 es
simétrica.

III. Verdadero
Por dato Ck=0 para algún k ∈ N.
k



Consideremos M = I + ∑ C i .
i =1

Para determinar sies invertible M, debemos
demostrar que |M| ≠ 0.
Veamos


k

M=I+C+C2+C3+...+Ck – 1+ C

0



M=I+C+C2+C3+...+Ck – 1

Multiplicamos por C

MC=(I+C+C2+C3+...+Ck – 1)C


MC = (C + C 2 + C 3 + C 4 + ... + C k



MC=M – I



I=M – MC



I=M(I – C)

1

MATEMÁTICA
Tomamos el determinante en ambos miembros

|I|=|M(I – C)|

1=|M||I – C|
→ |M| ≠ 0
Porlo tanto, M es invertible.
Respuesta
I y III

Pregunta N.o 2
La siguiente figura da la idea de tres planos
interceptándose según la recta L. ¿Cuál(es) de
los sistemas de ecuaciones dados representa a la
figura dada?

Resolución
Tema: Sistema de ecuaciones lineales de 3
variables
Tenga en cuenta que
1. La gráfica de la ecuación P:ax+by+cz=d
representa un plano en R3.
2. La gráficade la ecuación
x − x 0 y − y0 z − z 0
L:
=
=

a
b
c
representa una recta en R3.
3. Una recta L también se representa como
L  ={(x, y, z)/(x, y, z)=(x0, y0, z0)+t(v1, v2, v3), t ∈ R}
Análisis y procedimiento
Tenemos la figura que da la idea de tres planos
que se intersecan según la recta L .

L

L

I.



Luego L representa el conjunto solución de un
sistema linealde 3 variables.
En ese sentido, vamos a resolver cada uno de los
sistemas dados.
I. Se tiene
P  : 2x+3y – z=1
Q : – x+5y+2z=4
R  : x+8y+z=5

2x+3y – z=1
– x+5y+2z=4
x+8y+z=5

II.
x – y+3z=– 2

– 2x+2y – 6z=– 4

– x+y – 3z=2
III. 2x – y+z=3

– x+3y – z=1

x – 2y+2z=2



A) Solo I
B) I y III
D) I, II y III



C) Solo III
E) Solo II

Alsumar



se obtiene x + 8 y + z = 5



Luego P+Q es equivalente a R.

2 x + 3y − z = 1 +
− x + 5 y + 2z = 4

2

MATEMÁTICA


El sistema tiene infinitas soluciones, entonces
basta resolver
P : 2x+3y – z=1
Q:  – x+5y+2z=4


De P+2Q, es decir,
2 x + 3y − z = 1
− 2 x + 10y + 4 z = 8



1
{− 2 x + 2y − 6 z = − 4}
2
se obtiene
x – y+3z=2
Entonces losplanos P y Q son paralelos.
Luego el conjunto solución del sistema II es
vacío.



13y + 3z = 9
y=




9 − 3z
13

Reemplazamos en la ecuación



2x+3y – z=1



 9 − 3z 
2x + 3 
− z =1
 13 


Se obtiene
7 11
− z
x = −
26 13
Luego



CS = ( x, y, z ) x = −



como

{

}

7 11
9 − 3z
− z; y =
; z ∈R
26 13
13



 7 11 9 −3 z 
( x, y, z) =  −
− z;
; z
 26 13

13



7 9
11z 3 z
(x, y, z) =  − ; ; 0 +  − ; − ; z 


 26 13   3
 
13 



−

III. Se tiene
P: 2x – y+z=3
Q:  – x+3y – z=1
R: x – 2y+2z=2





II. Se tiene
P: x – y+3z= – 2
Q:  – 2x+2y – 6z= – 4
R:  – x+y+2z=2
 1
En Q multiplicamos por  −  , es decir,
 2

Luego
7...