Unicidad

Problema de Cauchy
Un Problema de Cauchy viene denido por una ecuación

x (t) = F(t, x(t))

o sistema de ecuaciones de primer orden y una condición

x(t0 ) = x0

inicial


x1 (t)
 . 
t −→ x(t) =  . 
 . 
xn (t)
donde cada una de las funciones xi es una función real xi : I −→ I
R
R
La función incógnita x es una función x : I −→
R

I n
R



La función F que denela ecuación es de la forma: F : I × I n −→
R R

I n
R

(t, z)
−→ F(t, z)
y los valores que denen la condición inicial (t0 , x0 ) ∈ I × I n son un punto del dominio de F.
R R
Toda la teoría que vamos a estudiar en este curso se reere a Problemas de Cauchy. Sin embargo,
la restricción que esto supone solo afecta, en realidad, al tipo de condición que imponemos.
Pudiera parecer que ladenición anterior excluye a las ecuaciones de orden n pero, como vamos
a ver, esto no es así.

Problema de Cauchy para ecuaciones de orden n

Toda ecuación diferencial de orden n es equivalente a un sistema de n ecuaciones de primer orden
Sea la ecuación de orden n (por simplicidad supongamos que podemos despejar la derivada

n-sima explícitamente):
y n) (t) = f (t, y(t), y (t), . . . ,y n−1) (t))
El sistema equivalente se obtiene deniendo las n variables:

z1 = y,

z2 = y ,

z3 = y ,

. . . , zn−1 = y n−2) ,

zn = y n−1)

que serán las n componentes de la función incógnita del sistema, z : I −→ I n . Si observamos
R
R
que la derivada de cada una de las n − 1 primeras variables es justamente la siguiente y que la
derivada de zn es zn = y n) , dada por laecuación diferencial original, tenemos para z la ecuación:

 
 

z2 (t)
z1 (t)
z1 (t)

 
 


 z (t)   z (t)  
z3 (t)
2

 
  2


 
 

d 
.
.
.
 = F(t, z(t))
=
=
.
.
.
z (t) =
.
.
.

 
 

dt 

 
 

 
 zn−1 (t)   z
zn (t)
n−1 (t) 


 

f (t, z1 (t), z2 (t), . . . , zn−1 (t), zn (t))
zn (t)
zn(t)
1




z1 (t0 )


 z (t )
 2 0

.
.
Una condición inicial para este sistema será z(t0 ) = 
.


 zn−1 (t0 )

zn (t0 )




y(t0 )

 
  y (t )
0
 
 
.
=
.
.
 
  n−2)
  y
(t0 )
 
n−1) (t )
y
0





, es decir:





Un problema de Cauchy para una ecuación diferencial de orden n viene dado por la ecuacióny el
valor de la función incógnita, y , y sus n − 1 primeras derivadas, y , y , . . . , y n−1) , en un mismo
punto t0 .

Ejemplo: Los siguientes problemas son problemas de Cauchy:
x = sen x − t2
x(0) = 1


 y +y =1




 x =x−y



y(0) = 1


 y (0) = 0

y = x2 − 2y + t


 x(0) = 1, y(0) = 0

Ejemplo: Los siguientes problemas no son problemas de Cauchy:
x= sen x − t2

y +y =1

x (0) = 1


 x =x−y


y = x2 − 2y + t


 x(0) = 1, y(1) = 0

y(0) = y (0)

x = sen x − t2
x(0) = 1, x(1) = 1


 y +y =1


y(0) = 1


 y (1) = 0


 x =x−y


y = x2 − 2y + t


 x(0) = 1, x (0) = 0

Ejemplo: Estudiemos las varios problemas de Cauchy para ver con qué situaciones podemos
encontrarnos:

(A)

y =yy(0) = 1

La solución general de la ecuación es y(x) = Aex , A ∈ I . Si imponemos
R
0 = A, por lo que
que se cumpla la condición inicial: 1 = y(0) = Ae
tenemos la solución única y(x) = ex para el problema de Cauchy.

En este caso la solución está denida ∀x ∈ I .
R


 y = −t
y
(B)

y(0) = 0

La solución general implícita de la ecuación es y 2 (t) + t2 = C, C ∈ I .
R
Siimponemos que se cumpla la condición inicial: y(0)2 + 02 = 0 = C ,
por lo que tenemos y 2 (t) + t2 = 0, cuya única solución y(t) = t = 0 no

dene ninguna función y(t), es decir, el problema de Cauchy no tiene solución.

2


 y = −t
y
(C)

y(1) = 0

Trabajando como antes llegamos a y 2 (t)+t2 = 1. Parece que hay dos po√
sibles soluciones y(t) = ± 1 − t2 al problema de Cauchy. Sin...