Unidad 1 Algebra

MATERIA:
ALGEBRA LINEAL.



INDICE
RESUMEN | |
UNIDAD 1.- Números complejos | |
1.1. | Definición y origen de los números complejos | 3 |
1.2. | Operaciones fundamentales con números complejos | 4 |
1.3. | Potencia de y, modulo o valor absoluto de un numero complejo | 4 |
1.4. | Forma polar y exponencias de un numero complejo. | 5 |
1.5. | Teoría de De Moivre, potencia yextracción de raíces de un número complejo. | 5 |
1.6. | Ecuaciones polinomicas. | 6 |
SINTESIS | 7 |
CONCLUSION | 9 |
BIBLIOGRAFIA | 10 |












RESUMEN
UNIDAD 1
NUMEROS COMPLEJOS

1.1. Definición y origen de los números complejos.
Origen de los números complejos
A fines del siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet al resolverecuaciones de la forma xm + bxm+n=cxm+2n, con coeficientes y exponentes positivos, no considero las raíces de números negativos y añadió: “tal solución es imposible”. En las misma época, Luca Pacioli afirmo que la ecuación x2 + c= bx tiene solución si b2 > 4c.
Leibniz (1646.1716) factorizó la expresión x4 + a4 como (x + a -1)(x – a -1)(x + a --1)(x – a --1) y asombro a sus contemporáneos alafirmar: “los números imaginarios son una especie de seres anfibios, a medio camino entre la existencia y la no existencia y recuerdan, en este aspecto, al Espíritu Santo de la teología cristiana”; en el mismo siglo el ingles Jhon Wallis (1616 – 1703), propuso la primera representación de los imaginarios puros, ubicándolos sobre la recta perpendicular al eje de los números reales.
Abraham deMoivre (1667 – 1754) planteó algoritmos y procesos para calcular potencias y raíces de los números complejos; hoy tales procesos se conocen como Teorema de de Moivre.
Leonard Euler uso el símbolo i para la unidad imaginaria y estableció que i2= -1; Euler estudió los logaritmos de números negativos y concluyo que ellos son imaginarios. El matemático francés Jean D’Alembert (1717 – 1783), autor dela introducción de La Enciclopedia, el libro de la Revolucion Francesa, demostró que el conjunto de los números complejos es cerrado para las operaciones algebraicas generales.
El estudio propiamente de los números complejos, considerados en la forma a + bi, contó con los aportes de Caspar Wessel, Jean Robert Argand y Carl Friedrich Gauss, a comienzos del siglo XIX. Sin embargo, fue elmatemático francés Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) quien desarrollo propiamente la teoría de las funciones de variable compleja, a partir de 1814.
El matemático irlandés William Hamilton (1805 – 1865) en 1833, introdujo el álgebra de pares ordenados de números reales e interpretó la acción de un numero complejo, sobre un real o sobre un complejo, como una rotación, idea que ya estaba implícita en larepresentación de wessel-Argand-Gauss.

Definición
Un número complejo es un numero de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es un símbolo con la propiedad de que i2= -1. El numero real a se considera como un tipo especial de numero complejo, en razón de que a=a + 0i. si z = a + bi es un numero complejo, entonces la parte real de z, denotada por Re z, es a, y la parteimaginaria (no hay nada de “imaginario” acerca de los números complejos: son tan “reales” como los números denominados así. El termino imaginario surgió del estudio de las ecuaciones polinomiales, como x2+1=0, cuyas soluciones no son “reales”) de z.
Como x2≥0 para todo numero real x, la ecuación:
X2 = -1
no tiene soluciones reales. Para manejar este problema, los matemáticos del siglo XVIIIintrodujeron el numero “imaginario”
i = -1
que se supone tiene la propiedad
i2 = (-1)2 = -1
pero de otra forma podría considerarse como un numero real.

1.2. Operaciones fundamentales con números complejos.
* Suma
Se podría aplicar directamente la definición de suma, pero es más fácil usar las propiedades de los números complejos.
(2 – 3i) + (6 + 2i) = 2 – 3i + 6 + 2i...