Unidad 2 estadistica 2

REGRESION LINEAL MULTIPLE.

INTRODUCCION.

En la mayoría de las aplicaciones intervienen más de una variable de regresión para su análisis y predecir el comportamiento de la variable de respuesta.

Supongamos que tenemos k variables independientes: x1, x2, ..., xk donde el problema general consiste en ajustar el modelo

Y (k) = (o + (1 x1 + (2 x2 + ... + (k xk + (Mientras que la respuesta estimada se obtiene de la ecuación de regresión muestral.

Y = (o + (1 x1 + (2 x2 + ... + (k xk + (

Donde cada coeficiente de regresión (i se estima a partir de los datos de la muestra, usando el método de mínimos cuadrados.

Para hacer la estimación se requiere que el componente aleatorio del error tenga:
E ( ( ) = 0 V (() = 1 y las (( noestén correlacionadas.

ESTIMACION DE LOS COEFICIENTES.

Utilizaremos la teoría elemental de matrices para el cálculo de los coeficientes del modelo.

Supongamos k variables independientes: x1, x2, ..., xk, y
n observaciones; y1, y2, ... , yn las cuales se pueden expresar con

Yi = (o + (1 x1i + (2 x2i + ... + (k xki + (i.

Para resolver estas ecuaciones usandomatrices, introduzcamos un vector “ y “ Para las observaciones, un vector “ b “ para las estimaciones y la matriz de diseño “ X “.

y1 bo 1 x11 x21 . . . xk1
y2 b1 1 x12 x22 . . . xk2
y = y3 b = b2 X = 1 x13 x23 . . . xk3

yn bn 1 x1n x2n . . . xkn

t t
Escribiendo: A = X * X y g = X * Y

Las ecuacionesnormales pueden ser escritas como: Ab = g.
Si la matriz A tiene inversa, podemos encontrar la solución para el coeficiente de regresión de la manera:

-1 t -1 t
b = A * g = ( X * X ) X * Y

EJMC4P1
Obtenga un modelo lineal de dos variables para los siguientes datos:

y 1 3 5 12
x1 2 4 5 8
x2 4 16 25 64Solución: Matriz de diseño.

1 2 4 1
1 4 16 bo 3 t 1 1 1 1
X = 1 5 25 b = b1 y = 5 Si X = 2 4 5 8
1 8 64 b2 12 4 16 25 64

t
A = X * X

1 1 1 1 1 2 4 4 19 109
A = 2 4 5 8 * 1 4 16 = 19 109 709
4 16 25 64 1 5 25 109 709 4993
1 8 64

-1 7.6955-3.2566 0.2944 1 41556 -17586 1590
A = -3.2566 1.4983 -0.1416 = ------ * -17586 8091 -765
0.2944 -0.1416 0.0138 5400 1590 -765 75

-1 t 1 41556 -17586 1590 1 1 1 1
A X = ------ * -17586 8091 -765 * 2 4 5 8
5400 1590 -765 75 4 16 25 64-1 t 2.36 -0.62 -1.226 0.486
A X = -0.826 0.47 0.693 -0.336
0.066 -0.05 -0.066 0.050

-1 t 2.36 -0.62 -1.226 0.486 1 0.207
b = A * X * Y = -0.826 0.47 0.693 -0.336 * 3 = 0.010
0.066 -0.05 -0.066 0.050 5 0.183
12

bo b1 b2

Y = 0.207 + 0.010 x1 + 0.183 x2yi Yi (i = yi - Yi

1 0.959 0.041 yi Valores observados
3 3.175 -0.175
5 4.832 0.168 Yi Valores ajustados
12 11.999 0.001 (i Residuos del modelo

FALTA DE AJUSTE.

En algunos experimentos es posible obtener observaciones repetidas de la respuesta para cada valor de x. Tales observaciones permiten obtener información cuantitativa acerca delo apropiado del modelo. Si existen observaciones repetidas es posible realizar una prueba de significancia que ayude a decidir si el modelo es adecuado ó no.

Si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n utilizando k diferentes valores de x, digamos
x1, x2, ..., xk, de tal forma que la muestra contenga n1 valores observados de la variable aleatoria y1 correspondiente a x1,...