Unidad 2 Limites Y Continuidad6

UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD
1.- Límites en el Infinito:
• lim𝑥→+∞ 𝑓 (𝑥 ) = 𝐿

Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + ∞ es L ϵ Ɽ, si podemos
hacer que f(x) se aproxime a L tanto como queramos sin más que tomar
valores de x suficientemente grandes. En tal caso, se escribe

lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿
Ejemplo:

lim𝑥→+∞

3𝑋+1
2x

=

• lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥 ) = 𝐿

3
2

Se dice que el límite def(x) cuando x tiende a - ∞ es L ϵ Ɽ, si podemos
hacer que f(x) se aproxime a L tanto como queramos sin más que tomar
valores de x suficientemente pequeños. En tal caso, se escribe

lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿
Ejemplo:

lim𝑥→−∞

3𝑋+1
2x

=

3
2

• lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥 ) = + ∞

Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a + ∞ es + ∞ , si podemos
hacer que f (x) sea tan grande como queramos sin más que tomar valoresde x
suficientemente grandes. En tal caso, se escribe lim𝑥→+∞ 𝑓 (𝑥 ) = + ∞
Ejemplo:

lim𝑥→+∞ 3𝑋 + 1 = + ∞

• lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥 ) = + ∞

Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a - ∞ es + ∞ , si podemos
hacer que f (x) sea tan grande como queramos sin más que tomar valores de x
suficientemente pequeños. En tal caso, se escribe lim𝑥→−∞ 𝑓 (𝑥 ) = + ∞
Ejemplo:

lim𝑥→−∞ − 𝑋 + 1 = + ∞

• lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥 ) =− ∞

Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a + ∞ es - ∞ , si podemos
hacer que f (x) sea tan pequeño como queramos sin más que tomar valores de
x suficientemente grandes. En tal caso, se escribe lim𝑥→+∞ 𝑓 (𝑥 ) = − ∞
Ejemplo:

lim𝑥→+∞ − 𝑋 + 1 = − ∞

• lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥 ) = − ∞

Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a - ∞ es - ∞ , si podemos
hacer que f (x) sea tan pequeño como queramossin más que tomar valores de
x suficientemente pequeños. En tal caso, se escribe lim𝑥→−∞ 𝑓 (𝑥 ) = − ∞
Ejemplo:

lim𝑥→−∞ 𝑋 − 3 = − ∞

2.-Operaciones con límites en el infinito
Para facilitar su aprendizaje, en este apartado vamos a trabajar solo con el
valor del límite entre paréntesis en lugar de toda la expresión, es decir:
Para hablar del lim𝑥→±∞ f(x) = 𝑎, usaremos solo (a)

Para hablar dellim𝑥→±∞ f(x) = +∞, usaremos únicamente (+∞)

Para hablar del lim𝑥→±∞ f(x) = −∞, usaremos solo (- ∞)

De este modo se cumple:
Suma y Resta
(a) + (b) = (a + b)

Producto
(a) ∙ (b) = (a ∙ b)

(a) – (b) = (a - b)

(a) ∙ (+∞) = (+ ∞) con a˃0
(a) ∙ (+∞) = (- ∞) con a<0

(𝑎)
= (±∞ )
(0)

(a) ∙ (-∞) = (+ ∞) con a<0

(𝑎)
= (0)
(±∞)

Regla de los signos

(a) + (+∞) = (+ ∞)

(a) ∙ (-∞) = (- ∞) con a˃0
Regla de lossignos

(a) - (+∞) = (- ∞)
(a) + (-∞) = (- ∞)

(0) ∙ (±∞) = IND

[0 ∙ ∞]

(+∞ ) ∙ (+∞) = (+ ∞)
(+∞) ∙ (-∞) = (- ∞)
(-∞ ) ∙ (+∞) = (- ∞)
(-∞) ∙ (-∞) = (+ ∞)
Regla de los signos

(a) - (-∞) = (+ ∞)
(+∞) + (+∞) = (+ ∞)
(-∞) + (-∞) = (- ∞)
(+∞) - (+∞) = IND
(+∞) + (-∞) =IND
[∞

− ∞]

Cociente
𝑎
= � � con b ≠ 0
(𝑏)
𝑏

(𝑎)

(0)
= (0)
(±∞)

(±∞)
= (+∞) 𝑜 (−∞)
(𝑎)

con a ≠ 0

Regla de los signos

(±∞)
=(±∞)
(0)
(0)
= 𝐼𝑁𝐷
(0)
(±∞)
= 𝐼𝑁𝐷
(±∞)

(𝒂)(𝒃)

(𝒂)(𝒃) = (𝒂𝒃 )
con a≠0

(𝒂)(+∞)

(𝒂)(+∞) = (+∞)

(𝟎)(𝒃) = (𝟎)
con b>0

con a>1
(𝒂)(+∞) = (𝟎)

(𝟎)(𝒃) = (+∞)

con a=1

con b<0

(𝟎)(𝒃) = 𝑰𝑵𝑫

con 0 (𝒂)(+∞) = 𝑰𝑵𝑫

Potencias
(𝒂)(−∞)
(𝒂)(−∞) = (𝟎)
con a>1
(𝒂)(−∞) = (+∞)
con 0 (𝒂)(−∞) = 𝑰𝑵𝑫
con a=1

[1∞ ]

con b=0

[00 ]

Se proponen el ejercicio 12.

[1∞ ]

(+∞)(𝒃)
(+∞)(𝒃) = (+∞)
con b>0
(+∞)(𝒃) =(𝟎)

con b<0
(+∞)(𝒃) = 𝑰𝑵𝑫
con b=0

[∞𝟎 ]

(+∞)(±∞)

(+∞)(+∞) = (+∞)
(+∞)(−∞) = (𝟎)

3.- Límite de una función en un punto. Límites laterales
• lim𝑥→𝑎 𝑓 (𝑥 ) = 𝐿

Sea f (x) una función definida en un entorno de x = a. Se dice que el límite de
f (x) cuando x tiende hacia a es L, si podemos hacer que f (x) se aproxime a L
tanto como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente
próximos alvalor x = a . Lo escribiremos lim𝑥→𝑎 𝑓 (𝑥 ) = 𝐿.
Ejemplo:

lim𝑥→2 𝑥 + 3 = 5

Hemos de tener en cuenta que la definición de límite no depende del valor de la
función en x = a, es decir, no tiene porqué cumplirse que f (x) = L, de hecho, ni
siquiera tiene que estar definida la función en x = a. La idea de límite analiza lo
que ocurre con las imágenes cuando nos acercamos, sin llegar a...

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