Unidad 4 Matematicas V

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
4.1 Solución de una Ecuación Diferencial Lineal con condiciones iníciales por medio de la Transformada de Laplace
Solución de ecuaciones diferenciales del tipo
dx(t)dt+δxt=H(t)(1)
en donde x es una función diferenciable y H(t) es cualquier función cuya transformada de Laplace existe. Si pensamos en x(t)como el acervo de capital al tiempo t, entonces la ecuación (1) es simplemente la ecuación de inversión del ejemplo 1.4 con H(t) = I(t).
Tomemos la transformada de Laplace de para obtener
Ldxdtδ+δLxs=LHs  (2)
y, despejando L[x](s) :
LLxs=x(0)s+δ+LH(s)s+δ  . (3)
Observemos que la transformada de Laplace convierte a la ecuación diferencial de flujos dada por (1), en una ecuaciónalgebraica de acervos representada por (2).
Tomemos ahora la transformada inversa L-1 de la expresión (3) para obtener
xt=x0L-11s+δ t+L-1LHs+δt=x0e-δt+L-1LHs+δ+(t)  (4)
La ecuación (4) nos proporciona el valor de x(t) en cada instante dado su valor inicial x(0). La forma explícita de la solución depende de la función H(t), el caso más simple es cuando H(t) = H, una constante, de manera quela solución dada por (4) queda como
xt=x0e-δt+L-1 Hδδ+δ t
=x0e-δt +HL-1-1δ(δ+δ)+1δs (t)
=x0e-δt -HδL-11δ+δ(t)-HδL-11s(t)
=x0e-δt -Hδe-δt +Hδ
x(0)-Hδe-δt +Hδ
La solución general de (4) puede encontrarse de la siguiente manera. Notemos que si g(t) = e- αt, entonces se tiene que L[g](s) = 1 s + α para todo s > - α, con lo cual
xt=x0e-δt+L-1LgLH(t)
Existe una propiedad de latransformada inversa que dice que

L-1LgLHt=0tg(t-τ)Hτdτ
A esta propiedad se la conoce como la propiedad de la convolución. En general se define la convolución α * β de dos funciones α(t) y β(t) como
α*β=0tαt-τβτdτ.(7)
La expresión (7) nos dice que la transformada inversa convierte a productos en convoluciones por lo tanto
xt=x(0)e-δt+0te-δt-τH(τ)dτ  . (8)
La ecuación (8) tiene unainterpretación económica inmediata. Para ilustrar esto pensemos en x(t) como el acervo de capital que se deprecia a una tasa ä y en H(t) como la inversión bruta. Entonces (8) dice que el acervo de capital en el tiempo t consiste de dos partes: la primera es lo que queda del capital inicial tomando en cuenta la depreciación (representada por el término I ), y la segunda consiste en la inversión acumulada enel periodo [0, t] con su correspondiente depreciación (representada por II).
La transformada de Laplace de α(t) está dada por
Lδαs=e-αδ
Demostración
Dados a = 0 y .t > 0, calculemos primero L[u.t,a(t)](s) como sigue:
Lμ∆t,αtδ=0∞μ∆t,αte-δtdt
α-∆tα+∆12∆t e-δtdt
12∆t-e-δα+∆t+e-δα-∆tδ
e-αδδe-δ∆te2δ∆t-12∆t

Asimismo, tenemos que

Lδα tδ=lim∆t-0Lμ∆t,α(t)y,por lo tanto,

Lδαtδ=lim∆t-0e-αδδe-δ∆te2δ∆t-12∆t

=e-αδδlim∆t-0e-δ∆te2δ∆t-12∆t
=e-αδδdeδtdtt=0
=e-αδ

con lo cual se concluye la demostración.

4.2 Soluciones de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales con condiciones iníciales por medio de la Transformada de Laplace.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Uso de la transformada de Laplace para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales.Cuando se especifican las condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes aun conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas para las funciones transformadas.
EJEMPLO 1: sistemas de ecuaciones diferenciales que se transforma en un sistema algebraico.
Resuelva: 2x'+y'-y=tx'+y'=t2
Sujetas αx0=1,y0=0
Solución si xs=Lx(t) y ys=Ly(t) , entonces después de transformar cada ecuación, llegamos a
2sXs-x(0)+sYs-y0-ys=1s2
sxs-x0+sYs-y0=2s3
O sea 2sxs+s-1ys=2+1s2
sxs+sys=1+2s3 (2)
Al multiplicar por 2 la segunda de estas ecuaciones y restar se obtiene...