Unidad 5-- aplicaciones de la derivada

UNIDAD 5: “APLICACIONES DE LA DERIVADA”
INTRODUCCION:
EN LA PRESENTE UNIDAD ABORDAREMOS LAS PRINCIPALES APLICACIONES QUE PUEDEN TENER LAS DERIVADAS, APRENDEREMOS A CALCULAR LAS DIFERENTES RECTAS PENDIENTES A UNA CURVA, ASI COMO TAMBIEN A CALCULAR LOS VALORES MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION EN LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA Y EL CALCULO DE APROXIMACIONES UTILIZANDO LA DIFERENCIAL.
INDICE:5.1.- RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVA ORTODONALES.

5.2.- TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL.

5.3.- FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE, MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION, CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS, CONCAVIDADES Y PUNTOS DE INFLEXION, CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS.5.4.- ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNSIONES

5.5.- CALCULO DE APROXIMACIONES UTILIZANDO LA DIFERENCIAL

5.1-RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO:

Recta tangente en un punto
Significado geométrico de la recta tangente en un punto

Ejercicios resueltos:

Recta normal a una curva en un punto
Pendiente
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es laopuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal
La recta normal a ¨a¨ una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).Ejemplos
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Sea el punto de tangencia (a, b)
m = 1
f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:m= 1P (0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1

Curvas ortogonales
El término ortogonalidad (del griego orthos —recto— y gonía —ángulo—) es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidadgeneraliza al de perpendicularidad.

Ortogonalidad en espacios vectoriales
Definición
Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores ve son ortogonales si el producto escalar de es cero. Esta situación se denota. Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores delconjunto B.
Ortogonalidad y perpendicularidad
En geometría euclídea, dos vectores X e Y ortogonales forman un ángulo recto, los vectores v1 = (3,4) y v2 = (4, − 3) lo son ya que,. En espacios no euclídeos puede definirse de modo abstracto el ángulo entre dos vectores a partir del producto interior.
Ortogonalidad respecto de una matriz (A-ortogonalidad)
Dados dos vectores u1 y u2 pertenecientes a unespacio vectorial de dimensión n y una matriz A de dimensión, si el productor escalar, notado, es igual a cero, se dice que u1 y u2 son ortogonales respecto a la matriz A o A-ortogonales. Un conjunto de n vectores se dice que forma una base A-ortonormal si para todo i,j = 1,...,n.
Ortogonalidad en otros contextos
El concepto de ortogonalidad puede extenderse a otros objetos geométricos diferentede los vectores. Por ejemplo dos curvas suaves se consideran ortogonales en un punto si sus respectivos vectores tangentes son ortogonales.

Dos familias de curvas se llaman ortogonales si en el punto de intersección de una curva de la primera familia con una curva de la segunda familia ambas resultan ser ortogonales.
Un ejemplo de esto es el de las líneas isostáticas de tracción y...