Unidad 5 y 6

5.1 FUNCIONES ORTOGONALES
En análisis funcional, se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio
son ortogonales si su producto escalar (f,g) es nulo.Que dos funciones particulares sean ortogonales depende de cómo se haya definido su producto escalar, es decir, de que el conjunto de funciones haya sido dotado de estructura de espacio prehilbertiano. Una definición muy común de productoescalar entre funciones es:

f,g=f*xgxwxdx
Con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado y w(x) es una función peso (en muchas aplicaciones se toma w(x) = 1).
Las soluciones de un problema de Sturm-Liouville, es decir, las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de borde adecuadas pueden escribirse como una suma ponderada de funcionesortogonales (conocidas también como funciones propias). Así las soluciones del problema:

5.2 CONJUNTOS ORTOGONALES Y CONJUNTOS ORTONORMALES
CONJUNTO ORTOGONAL: Un conjunto de funciones reales es llamado conjunto ortogonal de funciones en el intervalo si todas están definidas en el intervalo y si todas las integrales existen y son cero para todos los pares distintos de funciones.
La representaciónmatemática de la norma de es la siguiente:

Es claro que un conjunto ortogonal de funciones reales en el intervalo cuyas funciones tienen norma 1 satisfacen la siguiente expresión:

Un conjunto de funciones , se dice que es un conjunto ortogonal con respecto a una función de peso w(x) en el intervalo si:

La ortogonalidad es una propiedad que seencuentra mucho en ciertas ramas de las matemáticas. Se hace mucho uso de la representación de funciones en series de la forma siguiente:

EJEMPLO 1:
Demuestre que el Conjunto es ortogonal en el intervalo de [-π,π].

1.- Tenemos que hacer pero eso nos llevaría demasiado tiempo y nunca lo terminaríamos ya que se va hasta ∞, nos damos cuenta que podemos escribir donde

entonces podemos decireso el lo mismo que

Sabemos que el no importando el valor que pueda tener n

podemos concluir con

2.- Tenemos que hacer cuando donde n≠m vale menciona que no nos interesa cuando n=m porque eso sería la norma

por una identidad trigonométrica podemos escribirlo como

como ya sabemos el entonces en todo los senos se hacen cero por lo cual tenemos entonces podemos concluir con
ya queprobamos para todos podemos decir que el conjunto {1,cosx,cos2x,cos3x,...} es Ortogonal.
EJEMPLO 2:
Encontrar las normas de las funciones del conjunto con intervalo [-π,π], en este caso nos interesa cuando n=n en los cuales tenemos (1,1) y (cosnx,cosnx)

sabemos que el entonces nos queda
por lo tanto podemos concluir

EJEMPLO 3:

Demuestre que el conjunto ( 1, cos x, cos ti, . . .} esortogonal en el intervalo [+r, T].

CONJUNTO ORTONORMAL: Es aquel conjunto que se obtiene a partir de un conjunto ortogonal, dividiendo cada función de éste entre su norma.
En un conjunto de vectores S de el espacio vectorial V su producto interno es ortogonal si cada vector S es cero y seria espacio ortonormal si cada vector S es unitario. Un conjunto ortogonal es linealmente independiente sis es un conjunto de vectores diferentes de cero y que pertenecen al espacio v con producto interno.

5.3 DEFINICION SERIE DE FOURIER
Serie de Fourier generalizada Supongamos que {Øn(x)} es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a, b]. Nos preguntamos: si y = ƒ(x) es una función definida en el intervalo [a, b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficiéntes cn,  n =0, 1, 2, . . .,para el cual
(6)ƒ(x)=c0Ø0(x) + c1 Ø1(x) + ... + cn Øn(x) + ...?
Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes cn mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación (6) por Øm(x) e integrar en el intervalo [a, b] se obtiene

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la...