Uso De Ecuaciones Diferenciales Para Resolver Problemas De Partículas Cargadas Que Se Mueven Dentro De Campos Magnéticos o Eléctricos.

Uso de ecuaciones diferenciales para resolver problemas de partículas cargadas que se mueven dentro de campos magnéticos o eléctricos.
Alfonso Vargas Hernández.
Universidad de San Buenaventura.

Las ecuaciones diferenciales se han utilizado en muchas ramas de la ingeniería para solucionar en mayor medida problemas de valor inicial. En el siguiente artículo se mostrara una aplicación de lasecuaciones diferenciales en el campo de la electrónica, específicamente para resolver problemas de cargas en presencia de un campo ya sea magnético o eléctrico.

Cuando las cargas eléctricas se encuentren dentro de un campo eléctrico “” ó dentro de un campo magnético “”, se ejercerá sobre ellas una fuerza eléctrica “” o una fuerza magnética “”, respectivamente. Si se encuentran simultáneamentedentro de ambos, se ejercerá sobre ellas tanto una fuerza eléctrica como una fuerza magnética. La fuerza eléctrica está dada por la siguiente expresión:

q: carga eléctrica (C). Si la carga es positiva, el desplazamiento será en la misma dirección del campo eléctrico, pero si es negativa la dirección será en sentido contrario. La segunda ley de Newton enuncia: Esta fuerza es equivalente a laeléctrica. Por lo tanto si se igualan estas dos expresiones, se obtiene:

Para el campo magnético es similar, pero este, está dado por la siguiente ecuación:

Donde:
: Velocidad con la que la partícula cargada se mueve dentro del campo magnético . La fuerza magnética resultante, es perpendicular al plano donde se encuentran los vectores: y , cuya dirección depende de la aplicación de la leyde la mano derecha y de la polaridad que tenga la carga. Se iguala con la segunda ley de newton:

Por medio de las anteriores dos expresiones para obtener la aceleración de las cargas se puede conseguir las expresiones matemáticas para la velocidad y la posición instantánea (en función del tiempo); esto teniendo en cuenta que la aceleración es la primera derivada de la velocidad respecto altiempo y la velocidad a su vez es la primera derivada de la posición respecto al tiempo. En otras palabras, si se tiene la posición de la partícula cargada como una función en el tiempo, esta se puede derivar una vez para obtener la velocidad también como función del tiempo. Y si se deriva por segunda vez se obtiene la aceleración:
v(t)= dx(t)dt
at=d v(t)dt
d2x(t)dt2=a(t)

Para resolverproblemas los problemas que a continuación se presentaran es necesario enunciar como se resuelve ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes:

La forma más general de este tipo de ecuaciones es:

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada superior que aparece en ella.
Una ecuación diferencial es lineal cuando no existen términos de grado superior al primeroen lo que respecta a
la variable dependiente y a sus derivadas.
Se dice que la ecuación es HOMOGÉNEA si Q(x)=0.
Las soluciones de estas ecuaciones se basan en los siguientes teoremas:
TEOREMA 1 Si y=y1(x) es una solución cualquiera de una ecuación diferencial lineal homogénea y C una constante arbitraria, entonces y=Cy1(x) es también una solución.

TEOREMA 2 Si y=y1(x) e y=y2(x) sonsoluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea entonces y=y1x+y2x también una solución.

TEOREMA 3 Si y=ypx es una solución cualquiera de una ecuación diferencial lineal no homogénea e yhx es una solución de la correspondiente ecuación homogénea, entonces y=ypx+yhx es también una solución de la ecuación no homogénea.

ECUACIONES HOMOGENEAS: Estamos interesados en ecuaciones deltipo:

Se demuestra que la solución general de cualquier ecuación diferencial de segundo orden depende de dos constantes arbitrarias. Por ello podemos escribir la solución de la forma y=y(x,C1,C2). A estas constantes habrá que atribuirles valores apropiados que satisfagan las condiciones iníciales del problema físico.
El problema de obtener la solución general de esta ecuación se reduce al de...