Variable Aleatoria

AleatoriaVARIABLES ALEATORIAS
Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales
Francisco Álvarez González
francisco.alvarez@uca.es

VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
Variable aleatoria, asociada a una experiencia aleatoria, es la ley que hace corresponder a cada suceso
aleatorio un valor numérico.
Así, por ejemplo, la expresión "lanzamos tres monedas observando el númerode caras que se obtienen"
está definiendo la variable aleatoria que permite asociar al suceso Cara-Cruz-Cara el valor 2 (dos caras).
Como en el caso de las variables estadísticas, las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Nos
centraremos en el estudio de las primeras.

FUNCIÓN DE DENSIDAD O LEY DE PROBABILIDAD
Es el conjunto de los valores de la variable aleatoria X y susprobabilidades respectivas f(x) = Pr(X=x).
Para el caso discreto se suele adoptar la forma de representación siguiente :
X

x1

x2

f(X)

p1

p2

....

x3
p3

xi

xn

pi

....

....
....

pn
n

Ante la equivalencia entre frecuencias relativas y probabilidades, se verifica que :

∑p

i

=1

i=1

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Del mismo modo que se definían lasfrecuencias acumuladas, denominamos función de distribución a :
F(x) = Pr(X≤x)

MOMENTOS. ESPERANZA MATEMÁTICA, VARIANZA, ASIMETRÍA Y CURTOSIS
n

Momento ordinario de orden k :

α k = ∑ p i . x ik
i =1

n

μ k = ∑ p i . ( x i − E ( X) )

Momento central de orden k :

k

i =1

En particular :
Esperanza matemática : Es el momento ordinario de orden 1 (α1) , equivalente a la mediaaritmética.
n

E ( X) = α 1 = ∑ p i . x i
i =1

Varianza : Es el momento central de 2º orden.
n

n

2
V( X) = μ 2 = ∑ p i . ( x i − E ( X) ) = ∑ p i . x 2 − E ( X) 2 = α 2 − α 1
i
2

i =1

i =1

Desviación típica : Es la raíz cuadrada de la varianza.

D ( X) = V( X )
Coeficiente de asimetría : (similar a lo estudiado en el análisis descriptivo de una variable)

A ( X) =μ3

[ D( X)] 3

Coeficiente de curtosis : (similar a lo estudiado en el análisis descriptivo de una variable)

K( X) =

μ4

[ D( X)] 4

−3

Expresión de algunos momentos centrales en función de momentos ordinarios :

μ1 = 0
μ2 = α 2 −

μ 3 = α 3 − 3. α1 . α 2 + 2. α13
α12

μ 4 = α 4 − 4. α1 . α 3 + 6. α12 . α 2 − 3. α14
Variables aleatorias (F. Álvarez) - 1

OTRASMEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
Moda : es el valor de la variable aleatoria que posee probabilidad máxima.
Mediana : es el valor Md de la variable aleatoria para el cuál :
F(Md) ≥ 0'5 y 1 - F(Md) < 0'5 (siendo F la función de distribución)

PROPIEDADES
•
•
•

E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(α.X) = α.E(X) , para cualquier número α.
Si las dos variables son independientes , se verifica que :
• E(X . Y) =E(X) . E(Y)
• V(X + Y) = V(X) + V(Y)

TEOREMA DE TCHEBYCHEV
Establece la probabilidad máxima de que la variable aleatoria tome valores en los alrededores de la esperanza
matemática (media de la distribución).
Teorema :
Para toda variable aleatoria X para la que existe su esperanza y su varianza, se verifica que, para
cualquier valor numérico positivo k :

Pr( X − E ( X ) < k ) < 1 −V( X)
k2

Gráficamente :
La probabilidad de que cualquier valor de la
variable X pertenezca al intervalo sombreado
es inferior a :

1−

2 - Variables aleatorias (F. Álvarez)

V( X)
k2

EJERCICIOS RESUELTOS
1
Lanzadas cuatro monedas, consideremos el número de cruces obtenidas. Calcular, de la variable
aleatoria así definida :
a)
Ley de probabilidad
b)
Función de distribuciónc)
Esperanza matemática y varianza
d)
Mediana y moda de la distribución
e)
Determine la probabilidad de obtener más de 1 y menos de 3 caras. Compruebe el teorema de
Tchebychev.
CCCC
CCC+
CC++
C+++
++++

CC+C
C+C+
+C++

C+CC
C++C
++C+

+CCC
+CC+
+++C

+C+C

Se obtienen 0 cruces
Se obtienen 3 caras y 1 cruz
Se obtienen 2 caras y 2 cruces
Se obtienen 1 cara y 3 cruces...