Variables aleatorias vectoriales

Variables aleatorias vectoriales.

Recordando el caso unidimensional, la variable aleatoria X está definida como:
[pic]
[pic] [pic]
Donde X(s) es un número y X(S) es un subconjunto de los reales:

[pic]
Para el caso bidimensional definimos al variable vectorial aleatoria como:

[pic][pic] [pic]

La región formada por éste mapeo, se denomina espacio muestra conjunto SJ (ó rango del espacio muestra o espacio producto cartesiano) el cual se define como: SJ=[pic]. Note que esta definición nos relaciona ambos espacios muestra, S y SJ.

Por otro lado, consideremos los eventos: [pic] y [pic] donde se muestra la representación grafica para B en términos de los elementosdel espacio muestra S y se lee como “El conjunto de los elementos de S para los que los valores de su coordenada en Y es menor o igual a y”
[pic]

Graficando las regiones que definen los eventos A y B en SJ definimos el evento conjunto como:
[pic]
Para N variables aleatorias [pic] definidas en S.
El evento conjunto es: [pic]
Y la variable aleatoria N-dimensional definida es: [pic]
Análogo ala variable aleatoria bidimensional que hemos definido: [pic]

Distribución Conjunta:
Para lo eventos A y B definidos, podemos encontrar sus funciones de distribución asociadas a cada variable aleatoria como:

[pic]
[pic]
Así de forma análoga podemos definir la función de distribución conjunta como:

[pic]

[pic]

Generalizando la función dedistribución para N variables aleatorias:
[pic]

Ejemplo 1: Sea el espacio:[pic] con las probabilidades asociadas: P(1,1)=0.2; P(2,1)=0.3; P(3,3)=0.5
a) Graficar la función de densidad y distribución asociadas.
b) Escribir su función de densidad y distribución.
Para éste ejemplo podemos usar la generalización de la función de distribución y la función de densidad para el caso discreto:[pic]
[pic]

Ejemplo 2: Considere el fenómeno aleatorio de lanzar una moneda y sacar 1 ó 2 bolas de una urna que contiene 3 bolas numeradas del 1 al 3.
Se prosigue de la siguiente manera:
Si sale un águila entonces tomamos 1 bola de la urna.
Si sale un sol entonces tomamos 2 bolas de la urna (sin reemplazo).
Definimos las variables aleatorias X y Y como:

X(s)= 0 si sale un águila ó yY(s)= suma del número escrito en cada bola extraída.
1 si sale un sol.

a) ¿Cuál es el espacio muestra?
b) Encontrar la probabilidad de cada elemento del espacio muestra S (usar P(A∩B)=P(A|B)P(B)
c) Encontrar y graficar las funciones de densidad y distribución conjunta.

Propiedades de la función de distribución conjunta

1) [pic]
Demo:

2) [pic]
3) [pic]es unafunción no decreciente tanto de x como de y, es decir:
[pic] [pic]
[pic]

4) [pic]

5) [pic] y [pic]
6) [pic] y [pic]

Nota:
a) Las propiedades 1) y 4) son los criterios usados para identificar que una función es de distribución.
b) El inciso 5) nos relaciona las funciones de distribución de dos variables con las de una variable.

¿Cómo entender la relación entreFX,Y(x,y) y FX(x) ó FY(y)?
Queremos relacionar ambas funciones de distribución:
[pic] 1)
[pic] 2)
Consideremos los eventos disjuntos formados por contener un solo punto, (xi,yj):

[pic]
Entonces el evento dado por los puntos cuya componente en x toma el valor xi es: [pic]
Por lo que la probabilidad de éste evento es: [pic]
Sustituyendo en 2):
[pic]Por lo tanto comparando con 1): [pic]

De manera general, consideremos nuevamente los eventos: [pic] y [pic]
Pero si [pic] entonces: [pic]
Por otro lado, de la misma definición de la función de distribución conjunta:
[pic]
Pero si [pic]:
[pic]
Por lo tanto definimos las funciones de distribución marginal FX(x) y FY(y) como:
[pic]

Ejemplo 3: Encontrar las funciones de distribución...