variadito

CÁLCULO II
CUADERNO DE EJERCICIOS
SOLUCIONES
Dra. Lorena Zogaib
Departamento de Matemáticas
ITAM
Enero 7, 2013

1

INTRODUCCIÓN
Este documento constituye un material de apoyo para el curso de Cálculo II para las carreras de Economía y Dirección Financiera en el ITAM.
Contiene las soluciones detalladas del documento de trabajo Cálculo II,
Cuaderno de Ejercicios, Lorena Zogaib,Departamento de Matemáticas,
ITAM, enero 7 de 2013.
Todas las soluciones fueron elaboradas por mí, sin una revisión cuidadosa, por lo que seguramente el lector encontrará varios errores en el
camino. Ésta es una transcripción en computadora, de mis versiones
manuscritas originales. Para este fin, conté con la colaboración de Alejandro Arriaga Vargas, que realizó la primera transcripción de lassoluciones en Scientific WorkPlace.
Agradezco de antemano sus comentarios y correcciones en relación
con este material.

Lorena Zogaib

2

CÁLCULO II
TAREA DE PRERREQUISITOS - SOLUCIONES
1.

2.

3. Para la función f(x) = ln x :
Df = {x ∈ R |x > 0 } = R+ ,

If = {y ∈ R |−∞ < y < ∞ } = R.
4. Para la función f(x) = ex :
Df = {x ∈ R |−∞ < x < ∞ } = R,
If = {y ∈ R |y > 0} = R+ .

35. Propiedades de ln x:
Para todos x > 0, y > 0 y para todo r ∈ R se cumple
ln 1 = 0,
ln(xy) = ln x + ln y,
x
ln
= ln x − ln y,
y
ln (xr ) = r ln x.
6. Propiedades de ex :
Para todos x ∈ R, y ∈ R se cumple
e0 = 1,
ex+y = ex ey ,
ex
ex−y = y ,
e
exy = (ex )y .
7. Despeja y en la ecuación ex + ey = 4 y luego grafica esta curva en
el plano xy.

ex + ey = 4
ey = 4 − ex , sólo si 4− ex > 0
∴ y = ln(4 − ex ), x < ln 4.

8. (a) x2 ≥ 4 =⇒

√
√
x2 ≥ 4 =⇒ |x| ≥ 2 =⇒ x ≤ −2 o x ≥ 2.

(b) (x − 1) ex = 0 =⇒ x − 1 = 0 o ex = 0 =⇒ x = 1 (ya que
ex = 0).
(c) ln x ≤ 1 =⇒ eln x ≤ e =⇒ x ≤ e.
Sin embargo, como el dominio de ln x es x > 0, la solución es
0 < x ≤ e.

9. (a) y = ln x3 = ln (x3 ) = 3 ln x
dy
3
∴
= .
dx
x
4

(b) y = ln3 x = (ln x)3
3 (ln x)2
dy
1
∴= 3 (ln x)2
=
.
dx
x
x
(c) y = x ln x
dy
1
∴
= (x)
+ (1) (ln x) = 1 + ln x.
dx
x
ln x
(d) y =
x
1
(x)
− (ln x) (1)
1 − ln x
dy
x
=
=
.
∴
2
dx
x
x2
x
(e) y = 1 + 21/x
Aquí debe utilizarse derivación logarítmica:
x
ln y = ln 1 + 21/x = x ln 1 + 21/x
21/x (ln 2) (−1/x2 )
1 dy
= (x)
+ (1) ln 1 + 21/x
y dx
1 + 21/x
dy
1 21/x ln 2
=y −
+ ln 1 + 21/x
dx
x 1+ 21/x
dy
1 21/x ln 2
x
= 1 + 21/x
−
+ ln 1 + 21/x .
dx
x 1 + 21/x
10. ¿Verdadero o falso?:
1
= − ln x.
ln x
1
Falso:
= (ln x)−1 = − ln x
ln x
1
(b) x1/2 = 2 .
x
1
Falso: 2 = x−2 = x1/2 .
x
ex
(c) ex−2 ln x = 2 .
x
ex
ex
ex
Verdadero: ex−2 ln x = 2 ln x = ln x2 = 2 .
e
x
e
√ 2
x
(d) ex = e
√ 2
2
Falso:
ex = ex /2 = ex .
(a)

√ 2
x

(e) e

Falso:

=ex
e

√ 2
x

√
x

= e2

= ex .

5

CÁLCULO II
TAREA 1 - SOLUCIONES
VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES
(Tema 1.1)
− = −i + 2j.
→
1. Sea a
− = (−1)2 + (2)2 = √5
→
∴
a
−
→
1
a
∴ a = − = √ (−i + 2j).
→
a
5
−
→
→
(a) Un vector b de magnitud 2 y con dirección opuesta de − es
a

−
→
b = 2 (−a)
4
2
= √ i − √ j.
5
5

−
→
→
(b) Un vector b del doble dela magnitud de − y con dirección
a
− es
→
opuesta de a

−
→
→
b = 2(−− )
a
= 2 i − 4 j.

→
→ −
2. Sean A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) y − = AB = 4 i − 6 j. Por lo tanto,
v
→
− =−
→ AB
v
= (x2 − x1 , y2 − y1 )

= (4, −6).

6

−
→
Además, como P (3, −1) es el punto medio del segmento AB,
x1 + x2
y1 + y2
=3 y
= −1.
2
2
Se tiene, entonces,
x2 − x1 = 4,
x1 + x2 = 6,y2 − y1 = −6,
y1 + y2 = −2.

De esta manera,
x1 = 1, x2 = 5, y1 = 2, y2 = −4,
de donde los puntos son A(1, 2) y B(5, −4).

−
→
→
3. Sean − = (1, 2, 3) y b = (4, −1, 1). De esta manera,
a
−
→
b =

(a)

42 + (−1)2 + 12 =
√
−
→
−
→
π b = π b = 3π 2.
√
−
→
−
→
− b = b = 3 2.

(b)
(c)

√
√
18 = 3 2.

→
→ −
(d) − − b = (1 − 4, 2 − (−1), 3 − 1) = (−3, 3, 2).
a...