Varios temas

MÉTODOS DE RUNGE – KUTTA

Introducción:
La computadora, es la herramienta mas poderosa hasta ahora conocida, para la solución de problemas en el campo de las ciencias exactas, en este caso los métodos numéricos, como punto principal por sus aplicaciones en la ingeniería.
Los métodos numéricos son técnicas, donde es posible resolver los problemas por medio de operaciones aritméticas, estosmétodos implementan un buen numero de cálculos que son por demás demasiado lentos si se hacen manualmente, gastando mucha energía en la técnica misma de solución en vez de aplicarla sobre la definición del problema y su interpretación.
El trabajo monótono que se hacia anteriormente al uso de la computadora, hace de importancia, el dominio de los métodos numéricos, los cuales se deben llevar acabo en combinación con las capacidades y potencialidades de la programación de computadoras para de esa forma resolver los problemas de ingeniería mucho mas fácilmente y eficientemente.

Objetivo de los métodos de Runge-Kutta:

El objetivo de los métodos numéricos de runge-kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estosson una extensión del método de euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud mas alto que este.

Modelos matemáticos:

Los conocimientos científicos se usan rutinariamente por los ingenieros en el diseño de elementos tales como maquinas, circuitos eléctricos, estructuras etc.
Estos conocimientos son muy útiles cuando se expresan en forma de un modelo matemático, el cual sepuede definir como una ecuación que expresa las características fundamentales de un sistema o proceso físico en términos matemáticos, siendo clasificados estos modelos, desde simples relaciones algebraicas hasta grandes y complicados sistemas de ecuaciones diferenciales.
Análisis de un modelo matemático:
Un modelo matemático: es una expresión matemática como veremos en el siguiente ejemplo:Formula de la segunda ley de newton:
F= ma donde : F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo.
m es la masa del objeto.
Utilizando esta ley, vamos a determinar la velocidad de un paracaidista en caída libre.
Para este caso puede crearse un nuevo modelo, expresando la aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt) .
Y sustituir en la ecuación denueva forma:
F=m(dv/dt)
Así la masa, multiplicada por la razón de cambio de la velocidad es igual a la suma de fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
Si la fuerza total cuando el objeto cae es positiva el objeto acelera, pero si es negativa desacelera, pero si la fuerza neta es cero la velocidad permanecerá a un nivel constante.
Para un cuerpo que cae la fuerza , la fuerza total esta compuestapor dos fuerzas contrarias, la atracción debida a la gravedad Fd, y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire Fu.
Por lo tanto: F= Fd + Fu
La fuerza debida a la gravedad Fd se puede reescribir:
Fd=mg donde g es la constante de gravitación que equivale a 980 cm por segundo cuadrado.
La resistencia del aire se puede formular como una aproximación sencilla linealmenteproporcional a la velocidad:
Fv = -cv donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de arrastre.
Entonces la fuerza total es la diferencia de las fuerzas hacia abajo y hacia arriba, así que combinando las ecuaciones anteriores:
M(dv/dt)= mg – cv o dividiendo cada lado entre m:

esta es la ecuación de un cuerpo que cae a las fuerzas que actúan sobre el y es una ecuación diferencialporque esta escrita en términos de la razón diferencial dv/dt.
Usando el calculo y resolviendo esta ecuación diferencial se puede llegar a la siguiente formula que expresa la velocidad del paracaidista en función del tiempo.

 Ec(principal).
A continuación se observara la diferencia existente entre tres tipos de soluciones para el problema del paracaidista analizando las ventajas de cada...