Varios

4.3 Combinación lineal
Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que:
.
Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de .
Ejemplo: 2x + 3y− 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vector encuestión.
Independencia lineal
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Ejemplo
Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.:
= (3, 1) y = (2,3)

Linealmente independiente
4.4 Base de un Espacio Vectorial
Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una base para un espacio vectorial V si
* v1, v2, . . ., vn es linealmente independiente
* v1, v2, . . ., vn genera V.
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en Rn
En Rn se define
Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 sonlas columnas de una matriz identidad e1, e2, . . ., en es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn.
EJEMPLO
Base canónica para M22 que , , y generan a M22
Si
= C1 + C2 + C3 + C4 = , entonces es obvio que c1 = c2=c3=c4= 0. Así, estas matrices son linealmente independientes y forman una base para M22 .
Dimensión.- Si el espacio vectorial V tienen unabase finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se llama espacio de dimensión infinita. Si V = 0 , entonces se dice que V tiene dimensión cero.
EJEMPLO
La dimensión de Rn Como n vectores linealmente independientes en Rn constituye una base, se ve que Dim Rn = n
4.5 ESPACIO VECTORIAL CONPRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES
Espacio con producto interno.- Un espacio vectorial complejo V se llama espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un número complejo único (u,v), llamado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y

Definimos el producto interno de X e Y así:
X, Y = å
i=1
n
x i y i. (1.2.1)
Las propiedades de son:1. X, Y = Y, X .
2. X + Z, Y = X, Y + Z, Y .
3. lX, Y = l X, Y .
Las propiedades 2. y 3. nos dicen que el producto interno es lineal en la primera variable. Por la
propiedad 1. concluimos que también lo es en la segunda variable.
Existen en la literatura matemática otras notaciones para el producto interno, por ejemplo: X.Y y se le
conoce con el nombre de producto punto. Otra notación,bastante aparatosa, es X|Y , que
aparece frecuentemente en los libros de Física.
Con esl uso del producto interno introducimos uno de los conceptos más notables en matemáticas: la norma de un vector.
4.6 BASE ORTONORMAL, PROCESO DE OTONORMALIZACIONDE GRAM- SCHMIDT.
Base ortonormal
En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con productointerno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un...