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Distribuci´n Normal.
o

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Distribuciones Continuas de Probabilidad.
b

P[a, b] =
Muchos experimentos dan como resultado una variable aleatoria continua.
Es decir: que puede tomar cualquier valor en un intervalo, no s´lamente un
o
conjunto discreto de ellos. Un ejemplo: elegimos una persona al azar y medimossu altura. Esta altura se puede medir con toda la precisi´n que queramos.
o
¿Cu´l es la probabilidad de que esta altura sea exactamente 1 781254 cm.?
a
Pues muy muy baja. Pero la probabilidad de que tenga entre 1 78 y 1 79 cm.
es ya algo m´s razonable de manejar.
a
Una variable puede ser discreta y tomar valores decimales. Por ejemplo,
imagina que un curso tiene 10 asignaturas yconsideramos la variable
aleatoria: «fracci´n del curso que tiene aprobada un alumno al azar». Est´
o
a
claro que un resultado de 0 15 no tiene sentido. S´lo cuentan valores de 0 1
o
en 0 1. Una variable es continua cuando absolutamente todos los valores del
intervalo son posibles.

f(x)dx
a

Para nosotros el problema se reduce al c´lculo de areas. Desafortunadaa
´
mente, hay muchos casos enlos que no sabemos hacerlo...
De cualquier modo, es seguro que el area total bajo la gr´fica de una
´
a
funci´n de probabilidad tiene que ser 1. En otras palabras: la probabilidad de
o
obtener «cualquier valor» tiene que ser 1.
Un ejemplo importante es la distribuci´n uniforme, en la que f(x) toma
o
un valor constante h en un intervalo y vale cero fuera de ´l:
e
h si x ∈ [a, b]
0 encaso contrario

f(x) =

Sea el intervalo, p.ej., [3, 6]. En la figura 2 tenemos un bosquejo de la funci´n.
o
05

Llamaremos funci´n densidad de probabilidad, o meramente funci´n
o
o
de probabilidad a una funci´n f(x) que nos permite calcular la probabilidad
o
de que x est´ en cualquier intervalo [a, b]. Para ello nos basta con calcular el
e
´rea de la funci´n comprendida entre el eje Xy las l´
a
o
ıneas x = a y x = b.
Un ejemplo. F´
ıjate en la figura 1. Nos da una funci´n densidad de probo
abilidad. Si queremos la probabilidad de que el resultado caiga en el intervalo
[2, 3] s´lo tenemos que calcular el area sombreada.
o
´

h

0

1

2

3

4

5

6

7

Figura 2. Distribuci´n uniforme.
o

¿Cu´l ser´ el valor de h sabiendo que el area total bajo lafunci´n tiene que ser
a
a
´
o
1? Veamos: el area de un rect´ngulo es base por altura. La base mide 4, as´
´
a
ı
que la altura tiene que medir h = 1/4.

05

Si ahora nos preguntan por la probabilidad de que el resultado salga entre
3 5 y 4 tendremos que calcular el area:
´
4

0

1

2

3

4

P[3 5, 4] =
35

´
Figura 1. Area y probabilidad.

f(x)dx = (4 − 3 5) ·

1= 1/8
4

E1. Sea f(x) una distribuci´n uniforme sobre el intervalo [0, 10]. Calcula
o
la probabilidad de obtener un resultado en el intervalo [3, 4].
El area de una funci´n entre dos puntos se llama la integral de dicha
´
o
funci´n entre esos dos puntos. En s´
o
ımbolos se suele escribir as´
ı:
——

E2. Considera la siguiente funci´n densidad de probabilidad:
o
f(x) =

x/2
0si x ∈ [0, 2]
en caso contrario

3

Distribuci´n Normal.
o

´
La Distribucion Normal.

Calcula la probabilidad de obtener un resultado en el intervalo [0 75, 1 25].
´
´
Funcion de Distribucion. Media y Varianza.
A veces nos dan, en lugar de la funci´n densidad de probabilidad una
o
funci´n mucho m´s c´moda. La funci´n de distribuci´n F(x) est´ calculada
o
a o
o
o
a
detal manera que la probabilidad de obtener un resultado en un intervalo
determinado viene dada por:
b

P[a, b] =
a

f(x)dx = F(b) − F(a)

4

De todas las distribuciones continuas posibles la m´s importante es la llaa
mada normal o gaussiana[2] . Surge cada vez que hay un valor «especial» (que
ser´ la media) y muchas peque˜as deviaciones independientes sumadas. Por
a
n
ejemplo,...