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UNA INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1 DEFINICIONES BASICAS Y TERMINOLOGIA:

En los cursos de calculo el lector aprendió que dada una función [pic] la derivada
[pic], es también una función de X y se encuentra mediante alguna regla apropiada.

Por ejemplo:
Si [pic] entonces si [pic]
[pic]
Pero lo anterior tan solo era cálculo diferencial. Sin perdida de generalidad eneste curso nos enfrentaremos a otro tipo de problema; es que dada [pic], hay que hallar una función que al reemplazarla en la ecuación la satisfaga. En otras palabras queremos es “Resolver Ecuaciones Diferenciales”.

Definición: Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes, se dice que es una EcuaciónDiferencial.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Las Ecuaciones Diferenciales se clasifican de acuerdo a tres propiedades:

1. Clasificación según el Tipo: Puede ser Ordinaria ó Parcial.

Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una Ecuación DiferencialOrdinaria.
Por ejemplo:

[pic]; [pic] ; [pic] ;
Son Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto de dos ó más variables independientes se llama una: Ecuación Diferencial Parcial.



Por ejemplo:
[pic]; [pic]; [pic]
Son Ecuaciones Diferenciales Parciales.
Grado de una Ecuación Diferencial: Es elexponente o potencia a la que esta elevada las diferenciales y en variable dependiente.
Ejemplo:
[pic] Grado 1.

[pic] Grado 2.

[pic] Grado 3.

Orden de una E.D: El numero de veces que mas se haya derivado una E.D.

2. Clasificación Según El Orden:

El orden de la mas alta derivada en una ecuación diferencial se llama Orden de la Ecuación.
Ejemplo:
[pic]

3. Clasificación Según LaLinealidad y No Linealidad:

Una E.D ordinaria general de orden se puede representar por:
[pic]
Se dice que una ecuación diferencial es Lineal si tiene la forma:
[pic]
Haciéndose notar que las Ecuaciones Diferenciales se caracterizan por dos propiedades:
1. La variable dependiente (y) y junto con sus derivadas son de primer grado; esto es que la potencia o exponente es 1.
2. Cada coeficiente delas derivadas solo depende de la variable independiente(x).
Una E.D que no cumpla al menos una de estas dos condiciones se dice que es una E.D No Lineal.

Ejemplos:

DEFINICION 1.2: Se dice que una función f cualquiera define en algún intervalo I, es solución de una Ecuación Diferencial en el intervalo, si al sustituirla en dicha ecuación la reduce a una identidad.
Ejemplo:
La función[pic], es una solución de E.D [pic], en [pic], puesto que:

Reemplazo en [pic]

ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: (Electrónica)
Seria una lastima que un estudiante pase por un curso como este sin valorar aunque sea un poco los orígenes de la materia.
Considere el circuito simple conectado en serie que se muestra. Consta de una resistencia, inductor (L), y un condensador (c).
Se pide;hallar la carga almacenada en el condensador q(t), lo mismo que i(t).
S//
Se sabe por la segunda ley de Kirchoff.


[pic]Circuito RLC.

[pic]
[pic]

En consecuencia se puede deducir que al resolver un circuito R-L-C en serie resulta una Ecuación Diferencial lineal en q, que al resolver dicha E.D quedaría resuelto el circuito.

I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1.TEORIA PRELIMINAR.

PROBLEMA DEL VALOR INICIAL: A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial de primer orden [pic] sujeta a la condición adicional, [pic], donde [pic] es un punto en [pic], y [pic] es un numero real arbitrario; el problema que nos resulta es:

Se llama problema de valor inicial y la condición [pic] se conoce como condición inicial.


[pic]
Nota: Matemáticamente el...