Vectores y valores caracteristicos


Valores y Vectores Característicos

Definición de valores y vectores característicos

El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz simétrica tiene gran importanciaen las matemáticas y en la ingeniería, entre los que cabe destacar, el problema de la diagonalización de una matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejes principales de inercia de unsólido rígido, o de las frecuencias propias de oscilación de un sistema oscilante.

Se denominan valores propios o raíces características de una matriz cuadrada A, a los valores de amm tales que.Desarrollando el determinante tenemos un polinomio de grado n. Trataremos de encontrar los coeficientes del polinomio, y luego aplicaremos un método de hallar las raíces del polinomio.Este procedimiento es apropiado cuando se presentan valores propios que no son reales sino complejos.
Una vez hallados los valores propios, para hallar el vector propio X correspondiente al valorpropio λ es necesario resolver el sistema homogéneo donde λ es el valor característico y A, X son los vectores característicos donde el vector X es Siemprepodemos tomar x0 como 1, y hallar las otras n-1 incógnitas. De las n ecuaciones podemos tomar n-1, y resolver el sistema lineal.

















Ejemplo


Dada comprobar que X1 =(1,0) es un vector característico de A correspondiente al valor característico de λ1= -1

Solución

Entonces







Por otro lado tenemos

Entonces




Polinomio característico yecuación característica
Polinomio característico y encontrar sus raíces. Cada raíz deserá un valor propio de A. Los vectores propios pueden obtenerse directamente. Debido a que los valores propiosresultan ser las raíces del polinomio característico, éstos pueden ser reales o complejos, diferentes o repetidos.
Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:



La matriz (A – l-In), donde In...