Eigen Vectores, Eigen Valores y Polinomio Característico

EIGEN VECTORES, EIGEN VALORES Y
POLINOMIO CARACTER´
ISTICO DE UNA MATRIZ
EIGENVALUES, EIGENVECTORS AND CHARACTERISTIC POLYNOMIAL OF A MATRIX.

OMAR ARGUELLO
24 de junio de 2013
Resumen
El art´
ıculo que se presenta a continuaci´n es un estudio comprensivo del concepto y aplicabio
lidad de los Eigen vectores, Eigen valores y de los Polinomios caracter´
ısticos de una matriz.
Se realizauna consulta masiva de conceptos bas´ndose esencialmente en el libro “Linear Ala
gebra and its applications” para obtener un proceso ordenado de explicaci´n e introducci´n
o
o
al tema. Los resultados obtenidos ser´n reflejados en el aprendizaje de los conceptos b´sicos
a
a
de dichos temas para desarrollar dentro de los temas antes vistos.
Palabras clave: Aplicabilidad, Eigen vectores,Eigen valores, Polinomios caracter´
ısticos de
una matriz.

Abstract
The following article shows a deep study of the Eigen values, Eigen vectors and Characteristic polynomial of a matrix’s concept and applicability. We developed a massive research
about concepts based essentially on the “Linear Algebra and its applications” in order to
obtain an ordered process of explanation and introductionto the main topic. The results
obtained will be reflected in the basic concepts learning of each topic in order to develop it
within the already looked at topics.
Key words: Applicability, Eigen values, Eigen vectors, Characteristic Polynomial of a matrix.

´
INTRODUCCION
En este documento se presentar´ la correcta manera de encontrar los Eigen vectores, Eigen
a
Valores y el PolinomioCaracter´
ıstico de una matriz. Son conocimientos secuenciales lo cual
nos indica que para entender uno de los conceptos dependemos del total comprendimiento
del otro. Se estudia dichos conceptos para la b´squeda de aplicaciones en las que se puedan
u
implementar estos conocimientos y de esta manera agilizar el trabajo y optimizar recursos.
Se realiza un estudio minuicioso a cada ecuaci´n paradeterminar los teoremas y concluir
o
con una definici´n mas amigable para el estudiante.
o
1

METODOLOG´
IA
EIGEN VALORES Y EIGEN VECTORES
Para entender el concepto de los Eigen valores se debe entender primero el concepto de los
Eigen vectores, casi todos los vectores cuando son multiplicados por A cambian de direcci´n,
o
excepto en ciertos casos donde el vector X est´ en la mismadirecci´n que AX, a estos vectores
a
o
se los denomina Eigen Vectores, esto quiere decir que si multiplicamos un Eigen vector X
por una matriz A, el valor de AX ser´ entonces λ veces el vector X teniendo as´
a
ı:
A∗X =λ∗X
Dicha ecuaci´n determina que el valor de λ cambia su longitud m´s no su direcci´n, dicho
o
a
o
valor entonces es llamado Eigen Valor. Este valor indica si el vector X est´siendo alargado
a
o reducido cuando es multiplicado por la matriz A, pudiendo as´ encontrar valores para λ
ı
1
como λ = 1 o λ = 2 o λ = 2 . El Eigen valor puede ser 0, lo que significa que el Eigen vector
se encuentra en el espacio nulo.
Si la matriz A es una matriz identidad, cada vector tiene A ∗ X = X, lo que quiere decir que todos los vectores de I son Eigen Vectores, y todos los EigenValores λ son iguales a 1.
Demostraci´n:
o
Siendo:
A=

0,8 0,3
0,2 0,7

Sustraemos λ ∗ x en ambos lados:
A∗X −λ∗X =λ∗X −λ∗X
A∗X −λ∗X =0
Si multiplicamos una matriz Identidad por λ no cambia el sentido de la ecuaci´n, teniendo as´
o
ı:
A∗X −λ∗I ∗X =0
Sacamos factor com´n X:
u
(A − λ ∗ I) ∗ X = 0
Para que la ecuaci´n no tenga soluciones triviales el determinante de A − λ ∗ I tieneque ser
o
0 para que se cumpla la ecuaci´n.
o

2

Resolvemos el ∆ para (A − λ ∗ I):
0,8 − λ
0,3
0,2
0,7 − λ

∆

3λ 1
+
2
2

∆ = λ2 −
Factorizando obtenemos:

1
(λ − 1) y (λ − 2 )

Se obtienen dos Eigen valores: λ = 1 y λ = 1 . Para dichos valores la ecuaci´n A − λ ∗ I = 0
o
2
Primer paso:
Reemplazamos el valor de λ en la ecuaci´n
o
A−λ∗I =0

B=0
Igualamos A −...