Vectores

Producto Escalar y Vectorial
➢ Definición de vector
La definición clásica de vectores define a un vector como aquella cantidad en la que cumple con las siguientes características:
a) Tiene magnitud [pic]
[pic]
b). Dirección. Indicado el ángulo con respecto a un eje 
[pic]
c) Sentido. Indicado por la dirección de la flecha.

➢Notación con vectores
Las siguientes notaciones son las más típicas para representar a los vectores:
[pic]

Operaciones básicas entre vectores:

1. La suma de vectores
2. La resta de vectores
3. El producto escalar o producto punto
4. El producto vectorial 
1. La suma de vectores
Sean los vectores
[pic][pic]
1. La suma se define como
[pic]
2. La resta devectores
[pic]

3. El producto escalar o producto punto

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

[pic]

Ejemplo

[pic]

[pic]

[pic]

Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo

[pic]

[pic]

Expresión analítica delmódulo de un vector

[pic]

[pic]

Ejemplo

[pic]

[pic]

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

[pic]

Ejemplo

[pic]

[pic]

[pic]

Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

[pic]

Ejemplo

[pic]

[pic]

[pic]

Interpretación geométrica del producto escalarEl producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

[pic]

[pic]

[pic]

Ejemplo

Hallar la proyección del vector [pic]= (2, 1) sobre el vector [pic]= (−3, 4).

[pic]

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa

[pic]

2 Asociativa

[pic]

3Distributiva

[pic]

4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

[pic]

4. El producto vectorial o externo
El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

[pic]

El productovectorial se puede expresar mediante un determinante:

[pic]

Ejemplos

Calcular el producto vectorial de los vectores [pic]= (1, 2, 3) y [pic]= (−1, 1, 2).

[pic]

[pic]

Dados los vectores [pic]y [pic], hallar el producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a [pic]y [pic].

[pic]

[pic]

[pic]El producto vectorial de [pic]es ortogonal a los vectores [pic]y [pic].

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

[pic]

[pic]

Ejemplo

Dados los vectores [pic]y [pic], hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores [pic]y[pic]·

[pic]

[pic]

Área de un triángulo

[pic]

[pic]

Ejemplo

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Propiedades del producto vectorial

1. Anticonmutativa

[pic]x [pic]=−[pic] x [pic]

2. Homogénea

λ ([pic] x [pic]) = (λ[pic]) x [pic]= [pic]x (λ[pic])

3. Distributiva

[pic]x ([pic] + [pic]) = [pic]x [pic]+ [pic]x [pic]·

4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.

[pic][pic][pic][pic][pic]x [pic]= [pic]

5. El producto vectorial [pic]x [pic]es perpendicular a [pic]y...