Vectores

Vectores
Autora: Silvia Sokolovsky

Los vectores son magnitudes representadas por un segmento dirigido (flecha). Se caracterizan por poseer: a) Una longitud, la que es representada por un valor numérico al que llamaremos módulo (también se la denomina norma)b) Una dirección, que es la  recta a la que pertenece c) Un sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican  mediantesignos "+" para un lado y "" para el otro.  Los vectores pueden situarse el plano, o sea dos dimensiones, en el espacio, desde tres hasta infinitas dimensiones.Veamos los vectores en el plano, las mismas propiedades pueden ser aplicadas en todas las otras dimensiones. Es así que podemos escribir su origen y su extremo como puntos (x, y). La ubicación de estos puntos le dará el sentido al vector.Si el origen del vector es, por ejemplo, A = (1, 1) y el extremo B = (4, 5), el vector será AB (de A hasta B). Resulta interesante destacar que las coordenadas de estos puntos determinan un triángulo rectángulo, de manera que su módulo puede calcularse aplicando el teorema de Pitágoras. De manera que la longitud de cada cateto coincide con el valor que debería tener el vector si su origen fuerael centro de coordenadas.Es así que al hacer: (4 - 1; 5 - 1) = (3; 4) vemos que la resta de las componentes horizontales y verticales nos determinan al vector.(vector)   = B - A = (4, 5) - (1, 1) = (4 - 1; 5 - 1) = (3; 4)Generalicemos:Sea A = (a, b) y B = (c, d); el vector AB ( ) lo calcularemos haciendo la diferencia de B - A = (c - a, d - b)Para calcular la longitud del vector (módulo)aplicamos Pitágoras:. De aquí en adelante el origen de los vectores será siempre el origen de coordenadas, por lo tanto se designará a un vector sólo con el punto que determina su extremo.Sea A un vector de n dimensiones, A = {a1, a2, a3, . . . an} llamamos módulo, norma o simplemente longitud del vector al valor numérico (escalar) determinado por: Resta de Vectores:Restar dos vectores geométricamenteimplica "trazar" un tercer vector desde el extremo del primero hasta el extremo del segundo. Aritméticamente restamos las componentes verticales y horizontales entre sí.A = (7, 2)B = (5, 4)A  B = (7, 2)  (5, 4) = (7  5, 2  4) = (2, 2)Suma de VectoresSi tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero (llamado en física: resultante). Hay autores que indican que una magnitud es vectorialsi se los puede sumar mediante en método del paralelogramo. Método del paralelogramo: es un método geométrico en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos paralelos (puntos en color) obtendremos el vector suma.Analíticamente, se suman las componentes.A = (0, 5)B = (5, 4)A + B =(0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)Propiedades: 1. A + B = C (al sumar dos vectores se obtiene otro vector - ley de composición interna) 2. a. A = a (x1 , x2) = (a x1 , a x2)  (para a Î R)  [el producto de un vector y un escalar da otro vector] 3. (- 1) . A = - A (opuesto)        A- 1 = 1 / A (inverso) 4. A + (B + C) = (A + B) + C   (propiedad asociativa) 5.  A + B = B + A (propiedad conmutativa) 6.   a . (A + B) = a . A + a . B    (para a R)  (propiedad distributiva) 7.  A (a + b) = A . a + A . b      (para a R, b R) 8.  A + 0 = 0 + A = A  [0 representa el vector nulo (0, 0) que es neutro en suma] 9.  A + (- A) = 0 10.  1 . A = A  (1 es neutro en producto) 11.  0 . A = 0  (0 es absorvente en el producto)Los vectores que se encuentren en el planopertenecerán a R2 y se llamarán "pares"; mientras los que se ubiquen en el espacio de tres dimensiones pertenecerán a R3 (llamándose ternas), si hay cuatro dimensiones pertenecerán a R4, así sucesivamente.Vectores linealmente dependientesAl multiplicar un vector por un escalar obtenemos otro vector que pertenece a la misma recta de acción (igual dirección) pero cambia su módulo y (dependiendo del signo...