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VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS.

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VECTORES EN EL PLANO
Vector fijo.
Es un segmento orientado. Lo representamos por AB o por v . El punto A es el origen y
el punto B el extremo. Mientras no preste confusión el vector v podemos expresarlo
simplemente por v.
B

v
A

Características de un vector.
Módulo: Es la longitud del vector. Lorepresentamos por

AB o v . Las barras

verticales pueden ser también sencillas.
Dirección: Es la dirección de la recta que lo contiene. Si dos vectores son paralelos
tienen la misma dirección.

Sentido: Es el que va del origen al extremo. Lo representamos por la punta de la flecha.
Una dirección tiene dos sentidos.

Vectores equipolentes:
Son aquellos que tienen la misma dirección, el mismomódulo y el mismo sentido.

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Vector libre.
Es el conjunto formado por un vector fijo y todos los vectores equipolentes a él.

Suma geométrica de vectores.
Para sumar dos vectores u y v podemos hacerlo de dos maneras:
1.- Desde un punto cualquiera del plano colocamos un vector equipolente a u y a partir
delextremo de este colocamos otro vector que sea equipolente a v de manera que
coincidan el extremo del primero con el origen del segundo. La suma es el vector que
tienen como origen el origen del primero y como extremo el extremo del segundo.
u

v
u+v

2.- Ley del paralelogramo: Formamos un paralelogramo con dos vectores equipolentes a
los dados de forma que coincidan los orígenes y la sumaes la diagonal del
paralelogramo tomando como origen el origen de los vectores equipolentes elegidos.
La suma de vectores es conmutativa.

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Producto de un vector v por un número real k.
Es otro vector que expresamos por kv y que tiene:
Dirección: la misma que v
Sentido: el mismo que v si k es positivo ysentido contrario si k es negativo.
Módulo: el producto del módulo de v por el valor absoluto de k.

kv = k . v
v
2v
3v

-v

Combinación lineal de vectores.
Dados dos vectores a y b , diremos que el vector v es combinación lineal de ellos si
existen dos números reales x e y tales que v = x.a + y.b .
Ejemplo:

a

v

b

v=2.a+3.b

¿Cómo expresar un vector v como combinación linealde otros dos vectores

a y b ?.
Colocamos a , b y v con el origen común.
Trazamos rectas paralelas que contienen a los vectores a y b .
Desde los extremos de v trazamos paralelas a a y a b .
Los puntos de corte determinan los vectores a' y b' .
Buscamos un número real x que multiplicado por a nos de a' .
Buscamos un número real y que multiplicado por b nos de b' .

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Por definición de suma de vectores resulta que v = x.a + y.b

xa
v

a
b

yb

Base.
Dos vectores cualesquiera del plano con distinta dirección forman una base porque nos
permiten expresar cualquier otro vector como combinación lineal de ellos.

Otra base

Una base

Si los vectores los llamamos u1 y u 2 , la base laexpresamos en la forma B = {u1 , u 2 }

u1

v

u2

De este modo se verifica que v = xu1 + y u 2
A los números (x, y) se les llama coordenadas de v respecto de la base B

Base canónica del plano. (Base ortonormal)
Es el conjunto formado por dos vectores perpendiculares y de módulo unidad, (vectores
unitarios).
Suele expresarse por B = {i, j} , siendo i y j los vectores citados.
Severifica entonces que i⊥j y que i = j = 1

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Sistema de referencia en el plano.
Es el conjunto formado por:
- Un punto fijo O, llamado origen.
- Una base cualquiera.
Tomando la base canónica B = {i, j}como base habitual, un sistema de referencia
queda expresado en la forma siguiente: R= {O, {i, j}}
Dado un...