vectores

Cap´
ıtulo Cinco

VECTORES GEOMETRICOS
Ya sea tanto en el plano como en el espacio supondremos conocidos los conceptos de paralelismo como tambi´n el cumplimiento del V postulado de
e
Euclides, o sea, se tienen las nociones de incidencia y de paralelismo y las nociones intuitivas de direcci´n y sentido. Partiremos con el concepto de vector
o
geom´trico. Tanto en el plano como en elespacio ya introducidos fijamos un
e
punto O que llamaremos origen o punto inicial del vector. Escojemos, a
continuaci´n, un punto cualquiera P conocido como punto final del vector.
o
→

A la flecha OP la llamaremos vector p.
El vector p tiene magnitud OP y direcci´n de O hacia P .
o
Notas:
(1) Notemos que hay una correspondencia entre los puntos P y los vectores
p. Es decir, dado P hay ununico vector p y dado un vector p exite un unico
´
´
punto P .
(2) Al vector que corresponde al origen le llamaremos vector 0 (vector cero
o nulo)

5.1
5.1.1

Algebra de vectores geom´tricos
e
Adici´n de vectores geom´tricos
o
e

Definici´n 5.1.1 Dados los vectoo
res a y b, para conseguir a + b por
el punto final A de a se traza una
paralela a b y en esa paralela bus-

Π
B

→C

c

b

camos un punto C tal que AC = b
entonces:

O

a+b=c.

a

Fig. 5.1

195

b

A

Teorema 5.1.1 Propiedades de la adici´n
o
(1) Conmutatividad: a + b = b + a.
(2) Asociatividad: a + (b + c) = (a + b) + c.
(3) Existencia del neutro aditivo: a + 0 = a.
(4) Existencia del inverso aditivo: a + (−a) = 0.

5.1.2

Ponderaci´n de vectores geom´tricos por escalar
o
eDefinici´n 5.1.2 Dados el vector a y el escalar λ, entendemos por el vector
o
λa al vector que est´ en la misma recta que contiene a a y cuya magnitud se
a
multiplic´ por λ y cuyo sentido no cambi´ si λ > 0 y cambi´ si λ < 0.
o
o
o
Teorema 5.1.2 Propiedades de la ponderaci´n por escalar
o
(1) α(a + b) = αa + αb, (teorema de Thales).
(2) (α + β)a = αa + βa.
(3) α(βa) = (αβ)a.
(4) 1a= a.
(5) 0a = α0 = 0.
(6) (−1)a = −a.
Notas:
(1) El lector debe tener presente que con posterioridad, se definir´ la estructura
a
algebraica de Espacio vectorial sobre un campo, lo que nos permite decir
que:
“El conjunto de los vectores geom´tricos con adici´n y ponderaci´n por escalar
e
o
o
real es un espacio vectorial sobre el campo real.”
(2) Seg´n se dice, en India, durante elsiglo V A.C. los indios introdujeron la
u
noci´n de vector, que en s´nscrito sonaba algo as´ como vehor, que significa
o
a
ı
196

nuevo y se trata del movimiento de un rayo a partir de una posici´n fija en el
o
sentido que llamamos matem´tico o positivo (contrario a los punteros de un
a
reloj). Los latinos ampliaron el concepto de vehor al de vector que significa
portador.

5.2Ac´pite
a
→

Flechas Tomamos dos puntos A y B. Por flecha AB entendemos el trazo
dirigido de magnitud AB y direcci´n de A hacia B. A se llama punto inicial
o
de la flecha y B su punto final.
Flechas equipolentes o igualdad de flechas
→

→

Definici´n 5.2.1 AB = CD si ABCD es un paralelogramo
o
Teorema 5.2.1 Propiedades de la igualdad de flechas
→

→

(1) Reflexividad: AB = AB.
(2)Transitividad:
→

→

→

AB = CD
→

→

∧

→

→

CD = EF

→

→

⇒ AB = EF .

→

ı
(3) Simetr´a: AB = CD ⇒ CD = AB.
Notas:
(1) Las propiedades anteriores clasifican a las flechas en clases de equivalencia.
(2) Cada clase de equivalencia define a un solo vector y cada vector
pertenece a una sola clase de equivalencia.

D

C

B

A

Fig. 5.2

197

B

¿Cu´l es elvector que est´ en la misa
a
→

b

ma clase que la flecha AB?
Como se ve en la figura 5.3 es el vector b − a.
Desde ahora en adelante hablaremos
s´lo de vectores.
o

b-a

A

a

O

Fig. 5.3

5.3

Vector posici´n y sistemas de referencia
o

Con las nociones anteriores estudiaremos los puntos del espacio. Nuestro trabajo, en un principio, ser´ intuitivo y matem´ticamente se...